广东省韶关一中2019-2020学年高二第二学期5月月考数学试卷 （解析版） 23页

‎2019-2020学年高二第二学期5月月考数学试卷 一．选择题（共12小题）.‎ ‎1．设i是虚数单位，则复数i3‎-‎2‎i=‎（　　）‎ A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i ‎2．设z‎=‎1-i‎1+i+‎2i，则|z|＝（　　）‎ A．0 B．‎1‎‎2‎ C．1 D．‎‎2‎ ‎3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎4．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x‎2‎‎3p‎+y‎2‎p=‎1的一个焦点，则p＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎5．（1‎+‎‎1‎x‎2‎）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎6．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）‎ A．212 B．211 C．210 D．29‎ ‎7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（　　）‎ A．‎6‎ B．‎5‎ C．‎6‎‎2‎ D．‎‎5‎‎2‎ ‎8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）‎ A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 ‎9．函数f（x）‎=‎sinx+xcosx+‎x‎2‎在[﹣π，π]的图象大致为（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎11．双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（　　）‎ A．2sin40° B．2cos40° C．‎1‎sin50°‎ D．‎‎1‎cos50°‎ ‎12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．25π C．16π D．9π 二．填空题：‎ ‎13．函数f（x）═lnxx的单调增区间为　 　．‎ ‎14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　 　．‎ ‎15．若曲线y＝xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a＝　 　．‎ ‎16．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为　 　．‎ 三．解答题 ‎17．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．‎ ‎（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎19．设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知‎3‎|OA|＝2|OB|（O为原点）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设经过点F且斜率为‎3‎‎4‎的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）＝excosx﹣x．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[0，π‎2‎]上的最大值和最小值．‎ ‎21．设圆C与两圆（x‎+‎‎5‎）2+y2＝4，（x‎-‎‎5‎）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎（2）已知点M（‎3‎‎5‎‎5‎，‎4‎‎5‎‎5‎），F（‎5‎，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．‎ ‎22．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎（1）证明：a2‎=‎‎4a‎1‎+5‎；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有‎1‎a‎1‎a‎2‎‎+‎1‎a‎2‎a‎3‎+⋯+‎1‎anan+1‎＜‎‎1‎‎2‎．‎ 参考答案 一．选择题：‎ ‎1．设i是虚数单位，则复数i3‎-‎2‎i=‎（　　）‎ A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i ‎【分析】通分得出i‎4‎‎-2‎i，利用i的性质运算即可．‎ 解：∵i是虚数单位，则复数i3‎-‎‎2‎i，‎ ‎∴i‎4‎‎-2‎i‎=‎1-2‎i=-‎1‎i=‎i，‎ 故选：C．‎ ‎2．设z‎=‎1-i‎1+i+‎2i，则|z|＝（　　）‎ A．0 B．‎1‎‎2‎ C．1 D．‎‎2‎ ‎【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．‎ 解：z‎=‎1-i‎1+i+‎2i‎=‎(1-i)(1-i)‎‎(1-i)(1+i)‎+‎2i＝﹣i+2i＝i，‎ 则|z|＝1．‎ 故选：C．‎ ‎3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．‎ 解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，‎ 然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A‎4‎‎4‎‎=‎24种排法．‎ 由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24＝72个．‎ 故选：D．‎ ‎4．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x‎2‎‎3p‎+y‎2‎p=‎1的一个焦点，则p＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．‎ 解：由题意可得：3p﹣p＝（p‎2‎）2，解得p＝8．‎ 故选：D．‎ ‎5．（1‎+‎‎1‎x‎2‎）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．‎ 解：（1‎+‎‎1‎x‎2‎）（1+x）6展开式中：‎ 若（1‎+‎‎1‎x‎2‎）＝（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：‎ 若（1‎+‎‎1‎x‎2‎）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：‎ 由（1+x）6通项公式可得C‎6‎rxr．‎ 可知r＝2时，可得展开式中x2的系数为C‎6‎‎2‎‎=15‎．‎ 可知r＝4时，可得展开式中x2的系数为C‎6‎‎4‎‎=15‎．‎ ‎（1‎+‎‎1‎x‎2‎）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15＝30．‎ 故选：C．‎ ‎6．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）‎ A．212 B．211 C．210 D．29‎ ‎【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．‎ 解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ 可得Cn‎3‎‎=‎Cn‎7‎，可得n＝3+7＝10．‎ ‎（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：‎1‎‎2‎‎×‎2‎‎10‎=‎29．‎ 故选：D．‎ ‎7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（　　）‎ A．‎6‎ B．‎5‎ C．‎6‎‎2‎ D．‎‎5‎‎2‎ ‎【分析】先求渐近线斜率，再用c2＝a2+b2求离心率．‎ 解：∵渐近线的方程是y＝±bax，‎ ‎∴2‎=‎ba•4，ba‎=‎‎1‎‎2‎，a＝2b，‎ c‎=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎5‎‎2‎a，e‎=ca=‎‎5‎‎2‎，‎ 即它的离心率为‎5‎‎2‎．‎ 故选：D．‎ ‎8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）‎ A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 ‎【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．‎ 解：由题意，可把三人的预测简写如下：‎ 甲：甲＞乙．‎ 乙：丙＞乙且丙＞甲．‎ 丙：丙＞乙．‎ ‎∵只有一个人预测正确，‎ ‎∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．‎ 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．‎ 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，‎ 则有丙＞乙，乙＞甲，‎ ‎∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，‎ ‎∴只有丙＞甲不正确，‎ ‎∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．‎ 不符合题意．‎ ‎∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，‎ 甲＞乙，乙＞丙．‎ 故选：A．‎ ‎9．函数f（x）‎=‎sinx+xcosx+‎x‎2‎在[﹣π，π]的图象大致为（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．‎ 解：∵f（x）‎=‎sinx+xcosx+‎x‎2‎，x∈[﹣π，π]，‎ ‎∴f（﹣x）‎=‎-sinx-xcos(-x)+‎x‎2‎=-sinx+xcosx+‎x‎2‎=-‎f（x），‎ ‎∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；‎ 又f（π）‎=sinπ+πcosπ+‎π‎2‎=π‎-1+‎π‎2‎＞0‎，因此排除B，C；‎ 故选：D．‎ ‎10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．‎ 解：4项工作分成3组，可得：C‎4‎‎2‎‎=‎6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：6‎×A‎3‎‎3‎=‎36种．‎ 故选：D．‎ ‎11．双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（　　）‎ A．2sin40° B．2cos40° C．‎1‎sin50°‎ D．‎‎1‎cos50°‎ ‎【分析】由已知求得ba‎=tan50°‎，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．‎ 解：双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y‎=±bax，‎ 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得‎-ba=tan130°=-tan50°‎，‎ 则ba‎=tan50°=‎sin50°‎cos50°‎，‎ ‎∴b‎2‎a‎2‎‎=c‎2‎‎-‎a‎2‎a‎2‎=c‎2‎a‎2‎-1=sin‎2‎50°‎cos‎2‎50°‎=‎1‎cos‎2‎50°‎-1‎，‎ 得e‎2‎‎=‎‎1‎cos‎2‎50°‎，‎ ‎∴e‎=‎‎1‎cos50°‎．‎ 故选：D．‎ ‎12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．25π C．16π D．9π ‎【分析】画出图形，取SC的中点O，连接OA，OB，利用体积法，求解球的半径，然后求解球的表面积．‎ 解：取SC的中点O，连接OA，OB，‎ 因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC．‎ 因为平面SAC⊥平面SBC，所以OA⊥平面SBC．‎ 设OA＝r，‎VA-SBC‎=‎1‎‎3‎×S‎△SBC×OA=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2r×r×r=‎‎1‎‎3‎r‎3‎ 所以‎1‎‎3‎r‎3‎‎=9⇒r=3‎，‎ 所以球的表面积为4πr2＝36π．‎ 故选：A．‎ 二．填空题：‎ ‎13．函数f（x）═lnxx的单调增区间为　（0，e）　．‎ ‎【分析】求出函数f(x)=‎lnxx的导数为y′的解析式，令y′＞0 求得x的范围，即可得到函数f(x)=‎lnxx的单调递增区间．‎ 解：由于函数f(x)=‎lnxx的导数为y′‎=‎‎1-lnxx‎2‎，‎ 令y′＞0 可得 lnx＜1，解得0＜x＜e，‎ 故函数f(x)=‎lnxx的单调递增区间是 （0，e），‎ 故答案为：（0，e）．‎ ‎14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　14π　．‎ ‎【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．‎ 解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，‎ 所以球的半径为：‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎14‎‎2‎．‎ 则球O的表面积为：4‎×(‎14‎‎2‎‎)‎‎2‎π=‎14π．‎ 故答案为：14π．‎ ‎15．若曲线y＝xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a＝　2　．‎ ‎【分析】求出函数的导函数，求出x＝1时的导数值，写出曲线y＝xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．‎ 解：由y＝xa+1，得y′＝axa﹣1．‎ 所以y′|x＝1＝a，则曲线y＝xa+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：‎ y﹣2＝a（x﹣1），即y＝ax﹣a+2．‎ 把（0，0）代入切线方程得，a＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎16．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为　‎9‎‎4‎　．‎ ‎【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．‎ 解：由y2＝3x，得2p＝3，p‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 则F（‎3‎‎4‎，0）．‎ ‎∴过A，B的直线方程为y‎=‎‎3‎‎3‎（x‎-‎‎3‎‎4‎），‎ 即x‎=‎‎3‎y‎+‎‎3‎‎4‎．‎ 联立 y‎2‎‎=3xx=‎3‎y+‎‎3‎‎4‎，得4y2﹣12‎3‎y﹣9＝0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2＝3‎3‎，y1y2‎=-‎‎9‎‎4‎．‎ ‎∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB‎=‎1‎‎2‎×‎‎3‎‎4‎|y1﹣y2|‎ ‎=‎3‎‎8‎‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎=‎3‎‎8‎×‎(3‎3‎‎)‎‎2‎+9‎=‎‎9‎‎4‎‎．‎ 故答案为：‎9‎‎4‎．‎ 三．解答题 ‎17．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA＝sin（A+C），从而可得2sinBcosA＝sinB，由此可求求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）利用b＝2，c＝1，A‎=‎π‎3‎，可求a的值，进而可求B‎=‎π‎2‎，利用D为BC的中点，可求AD的长．‎ 解：（Ⅰ）∵2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC ‎∴2sinBcosA＝sin（A+C）‎ ‎∵A+C＝π﹣B ‎∴sin（A+C）＝sinB＞0‎ ‎∴2sinBcosA＝sinB ‎∴cosA‎=‎‎1‎‎2‎ ‎∵A∈（0，π）‎ ‎∴A‎=‎π‎3‎；‎ ‎（Ⅱ）∵b＝2，c＝1，A‎=‎π‎3‎ ‎∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3‎ ‎∴b2＝a2+c2‎ ‎∴B‎=‎π‎2‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴AD‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎(‎3‎‎2‎)‎‎2‎=‎‎7‎‎2‎．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．‎ ‎（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD．‎ ‎（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，‎ 又由BG＝PG，得GH∥PD，‎ ‎∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴GH∥平面PAD．‎ ‎（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，‎ 依题意得DN⊥PC，‎ 又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，‎ ‎∴DN⊥平面PAC，‎ 又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，‎ 又PA⊥CD，CD∩DN＝D，‎ ‎∴PA⊥平面PCD．‎ 解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC，‎ 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，‎ ‎∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，‎ ‎∴DN‎=‎‎3‎，又DN⊥AN，‎ 在Rt△AND中，sin∠DAN‎=DNDA=‎‎3‎‎3‎．‎ ‎∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为‎3‎‎3‎．‎ ‎19．设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知‎3‎|OA|＝2|OB|（O为原点）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设经过点F且斜率为‎3‎‎4‎的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得‎3‎a＝2b，再由离心率公式可得所求值；‎ ‎（Ⅱ）求得a＝2c，b‎=‎‎3‎c，可得椭圆方程为x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=‎1，设直线FP的方程为y‎=‎‎3‎‎4‎（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．‎ 解：（Ⅰ）‎3‎|OA|＝2|OB|，即为‎3‎a＝2b，‎ 可得e‎=ca=‎1-‎b‎2‎a‎2‎=‎1-‎‎3‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎；‎ ‎（Ⅱ）b‎=‎‎3‎‎2‎a，c‎=‎‎1‎‎2‎a，‎ 即a＝2c，b‎=‎‎3‎c，‎ 可得椭圆方程为x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=‎1，‎ 设直线FP的方程为y‎=‎‎3‎‎4‎（x+c），‎ 代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，‎ 解得x＝c或x‎=-‎‎13c‎7‎，‎ 代入直线PF方程可得y‎=‎‎3c‎2‎或y‎=-‎‎9c‎14‎（舍去），‎ 可得P（c，‎3c‎2‎），‎ 圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），‎ 可得t‎4‎‎=‎‎3c‎2‎c+2c，解得t＝2，‎ 即有C（4，2），可得圆的半径为2，‎ 由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，‎ 可得‎|3×4-4×2+3c|‎‎9+16‎‎=‎2，解得c＝2，‎ 可得a＝4，b＝2‎3‎，‎ 可得椭圆方程为x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=‎1．‎ ‎20．已知函数f（x）＝excosx﹣x．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[0，π‎2‎]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；‎ ‎（2）求出f（x）的导数，再令g（x）＝f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，π‎2‎]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．‎ 解：（1）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，‎ 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），‎ 曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；‎ ‎（2）函数f（x）＝excosx﹣x的导数为f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 令g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，‎ 则g（x）的导数为g′（x）＝ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）＝﹣2ex•sinx，‎ 当x∈[0，π‎2‎]，可得g′（x）＝﹣2ex•sinx≤0，‎ 即有g（x）在[0，π‎2‎]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，‎ 则f（x）在[0，π‎2‎]递减，‎ 即有函数f（x）在区间[0，π‎2‎]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；‎ 最小值为f（π‎2‎）‎=‎eπ‎2‎cosπ‎2‎‎-π‎2‎=-‎π‎2‎．‎ ‎21．设圆C与两圆（x‎+‎‎5‎）2+y2＝4，（x‎-‎‎5‎）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎（2）已知点M（‎3‎‎5‎‎5‎，‎4‎‎5‎‎5‎），F（‎5‎，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2‎5‎，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；‎ ‎（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||＝|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标．‎ 解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（‎-‎‎5‎，0）、F2（‎5‎，0），‎ 由题意得：|CF1|+2＝|CF2|﹣2或|CF2|+2＝|CF1|﹣2，‎ ‎∴||CF2|﹣|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝2‎5‎‎=‎2c，‎ 可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2‎5‎的双曲线，‎ 因此a＝2，c‎=‎‎5‎，则b2＝c2﹣a2＝1，‎ 所以轨迹L的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y2＝1；‎ ‎（2）过点M，F的直线l的方程为y‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎‎-0‎‎3‎‎5‎‎5‎‎-‎‎5‎（x‎-‎‎5‎），‎ 即y＝﹣2（x‎-‎‎5‎），代入x‎2‎‎4‎‎-‎y2＝1，解得：x1‎=‎‎6‎‎5‎‎5‎，x2‎=‎‎14‎‎5‎‎15‎，‎ 故直线l与双曲线L的交点为T1（‎6‎‎5‎‎5‎，‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎），T2（‎14‎‎5‎‎15‎，‎2‎‎5‎‎15‎），‎ 因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||＝|MF|‎=‎(‎3‎‎5‎‎5‎-‎5‎)‎‎2‎‎+‎‎(‎4‎‎5‎‎5‎)‎‎2‎=‎2，‎ ‎||MT2|﹣|FT2||＜|MF|＝2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|＝2，‎ 综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（‎6‎‎5‎‎5‎，‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎）．‎ ‎22．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an+12﹣4n﹣1，n∈一、选择题*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎（1）证明：a2‎=‎‎4a‎1‎+5‎；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有‎1‎a‎1‎a‎2‎‎+‎1‎a‎2‎a‎3‎+⋯+‎1‎anan+1‎＜‎‎1‎‎2‎．‎ ‎【分析】（1）对于‎4Sn=an+1‎‎2‎-4n-1，n∈‎N‎*‎，令n＝1即可证明；‎ ‎（2）利用‎4Sn=an+1‎‎2‎-4n-1，n∈‎N‎*‎，且‎4Sn-1‎=an‎2‎-4(n-1)-1‎，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．‎ ‎（3）由（2）可得‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(2n-1)(2n+1)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)‎．利用“裂项求和”即可证明．‎ 解：（1）当n＝1时，‎4a‎1‎=a‎2‎‎2‎-5，a‎2‎‎2‎=4a‎1‎+5‎，‎ ‎∵‎an‎＞0∴a‎2‎=‎‎4a‎1‎+5‎ ‎（2）当n≥2时，满足‎4Sn=an+1‎‎2‎-4n-1，n∈‎N‎*‎，且‎4Sn-1‎=an‎2‎-4(n-1)-1‎，‎ ‎∴‎4an=4Sn-4Sn-1‎=an+1‎‎2‎-an‎2‎-4‎，‎ ‎∴an+1‎‎2‎‎=an‎2‎+4an+4=(an+2‎‎)‎‎2‎，‎ ‎∵an＞0，∴an+1＝an+2，‎ ‎∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．‎ ‎∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a‎5‎‎2‎‎=a‎2‎⋅‎a‎14‎，‎(a‎2‎+6‎)‎‎2‎=a‎2‎⋅(a‎2‎+24)‎，解得a2＝3，‎ 由（1）可知，‎4a‎1‎=a‎2‎‎2‎-5=4‎，∴a1＝1∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，‎ ‎∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝2n﹣1．‎ ‎（3）由（2）可得式‎1‎anan+1‎‎=‎1‎‎(2n-1)(2n+1)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)‎．‎ ‎∴‎‎1‎a‎1‎a‎2‎‎+‎1‎a‎2‎a‎3‎+⋯+‎1‎anan+1‎=‎1‎‎1⋅3‎+‎1‎‎3⋅5‎+‎1‎‎5⋅7‎+⋯+‎‎1‎‎(2n-1)(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎⋅[(1-‎1‎‎3‎)+(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)]‎‎#/DEL/#‎‎=‎1‎‎2‎⋅[1-‎1‎‎2n+1‎]＜‎1‎‎2‎.‎‎#/DEL/#‎‎ ‎ ‎ ‎