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- 2021-04-15 发布
合情推理与演绎推理
【学习目标】
1. 理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。
2. 理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.
【要点梳理】
要点一、推理的概念及分类
1. 推理的概念：
根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
要点诠释：
（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．
（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．
2. 推理的分类：
（1） 合情推理：
根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．
合情推理的推理过程
要点诠释：
由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．
（2） 演绎推理：
从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．
要点二、归纳推理
1.定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
2．归纳推理的特点
（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
（2
）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；
（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；
（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．
要点诠释：
归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
3．运用归纳推理时的一般步骤
（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；
（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；
（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．
（2）一般模式：部分整体，个体一般
（3）一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；
③检验猜想.
4．完全归纳法和不完全归纳法
（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．
（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．
要点三、类比推理
1．定义：
类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．
2．类比推理的几个特点
（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
3．运用类比推理的一般步骤
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．
（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
（3）检验猜想.
要点诠释：
（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．
（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．
（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．
要点四、演绎推理
（1）定义：
从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）一般模式：
“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.
要点诠释：
①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．
②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．
（3）用集合的观点理解“三段论”
若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.
要点诠释：
演绎推理的结论一定正确
演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。
要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系
（1）从推理模式看：
①归纳推理是由特殊到一般的推理．
②类比推理是由特殊到特殊的推理．
③演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）从推理的结论看：
①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
要点诠释：
注意： 在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．
【典型例题】
类型一、归纳推理
例1. 用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.
【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.
【解析】对数列的前项和分别进行计算：
，
，
，
，
.
观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，
由此猜想数列的前项和.
【总结升华】】①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.
②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.
③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.
④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.
举一反三：
【变式1】（2018秋 台州期末）在数列{an}中，满足an+1=an－an－1（n≥2），a1=a，a2=b，设Sn=a1+a2+…+an，则合情推理推出a100=________，S100=________。
【答案】由an+1=an―an―1（n≥2），得
an+6=an+5―an+4=an+4―an+3―an+4=―an+3=―(an+2―an+1)=―(an+1―an―an+1)=an，
所以6为数列{an}的周期，
又a3=a2―a1=b―a，a4=a3―a2=―a，a5=a4―a3=―b，a5=a5―a4=a―b，
所以a100=a96+4=a4=―a，
S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16×0+a+b+b―a―a=2b―a，
故答案为：―a，2b－a。
【变式2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.
【答案】对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：
；
；
；
；
；
；
观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.
【变式3】
各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有。当，时，求通项公式an。
【解析】 由
得。
将，代入化简得
∴当n=3时，。
当n=4时，。
∴由此归纳出。（n∈N*）
（归纳猜想出的结论应予以严格证明才可，此处证明略．）
例2．（2018春 高要市校级月考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图的蜂巢总数。
（1）试给出f（4），f（5）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；
（3）证明：。
【答案】（1）61（2）f（n）=3n2－3n+1（3）略
【思路点拨】（1）根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值。
（2）根据相邻两项的差的规律可分析出f（n+1）－f（n）=6n，进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式；
（3）根据（2）中求得的f（n）可得的表达式，进而利用裂项的方法证明原式。
【解析】（1）f（4）=37，f（5）=61。
（2）由于f（2）―f（1）=7―1=6，
f（3）―f（2）=19―7=2×6，
f（4）―f（3）=37―19=3×6，
f（5）―f（4）=61―37=4×6，
因此，有f（n+1）―f（n）=6n，
所以f（n）=[f（n）―f（n―1）]+[f（n―1）―f（n―2）]+…+[f（2）―f（1）]+f（1）
=6[（n―1）+（n―2）+…+2+1]+1=3n2―3n+1。
又f（1）=1=3×12－3×1+1，所以f（n）=3n2－3n+1。
（3）证明：当k≥2时，
所以
。
【总结升华】本题主要考查了数列的求和问题，数列的求和是数列的重要内容之一，除等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和解。
举一反三：
【高清课堂：401470 例题2】
【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
……
【答案】1111111。根据数塔中的位数规律可得。
【高清课堂：401470 例题1】
【变式2】根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.( )
A. B. C.n+1 D.
【答案】D
第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有
个点;
第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有个点;
第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有个点;
第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有个点;
……
由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个点,另外的点指向n个方向,每个方向n-1个点,共
有n(n-1)个点.
【变式3】
将正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（如图2-1-1-1，图2-1-1-2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=________，…，f（n）=________。
【答案】
当n=3时，如图2-1-13所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a+b+c=1，x1+x2=a+b，y1+y2=b+c，z1+z2=c+a。
x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2。
6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2。
即而。
进一步可求得f（4）=5。
∵，。
，
。
由此归纳出，
所以
。
类型二、类比推理
例3. 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想。
【思路点拨】从方法的类比入手。
【解析】
由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则”
证明：设在平面的射影为，延长交于，记
由得，从而，又
，，
即
【总结升华】
主要考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间。
（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；
（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等
举一反三：
【变式】在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S—ABC的外接球半径R=________.
【答案】
例4.已知等差数列的公差为，前项和有如下性质：
②若，则
③若，则.
类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质.
【解析】
在等比数列中，公比为，前项和为
②若，则
③若，则
【总结升华】】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：
等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且
则）；
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且
则）.
举一反三：
【变式1】已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．
【答案】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；
【变式2】通过计算可得下列等式：
22－12=2×1+1，
32－22=2×2+1
42－32=2×3+1，
……
(n+1)2－n2=2×n+1。
将以上各等式两边分别相加得：(n+1)2－12=2(1+2+…+n)+n，
即 。
（1）类比上述求法，请你求出12+22+32+…+n2的值。
（2）根据上述结论试求12+32+52+…+992的值。
【答案】（1）∵23－13=3×12+3×1+1，
33－23=3×22+3×2+1，
43－33=3×32+3×3+1，
……
(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。
将以上各式两边分别相加得
(n+1)3－13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n，
∴。
（2）12+32+52+…+992
=12+22+32+…+1002―(22+42+62+…+1002)
=12+22+32+…+1002―4(12+22+32+…+502)
=×100×101×201－4××50×51×101=166650。
类型三：演绎推理
例5. 用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直．
（2）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若∠1和∠2不相等，则∠1和∠2不是对顶角．
（3）是有理数．
【解析】
（1）菱形的对角线互相垂直 （大前提）
正方形是菱形 （小前提）
正方形的对角线互相垂直 （结论）
（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）
∠1和∠2不相等 （小前提）
∠1和∠2不是对顶角 （结论）
（3）所有的循环小数都是有理数 （大前提）
是循环小数 （小前提）
是有理数 （结论）
【总结升华】】
在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特殊情况间的联系．我们早已能自发地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．
举一反三：
【变式】把下列演绎推理写成三段论的形式．
在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
【答案】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃；
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃；
结论：水会沸腾．
例6．已知：在梯形ABCD中（如右图所示），AB=DC=AD．AC和BD是它的对角线．
求证：1.AC平分∠BCD，2.DB平分∠CBA．
【解析】
1.（1）等腰三角形两底角相等， （大前提）
△DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰， （小前提）
∠1=∠2． （结论）
（2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等， （大前提）
∠1和∠3是平行线．AD、BC被AC截出的内错角， （小前提）
∠1=∠3． （结论）
（3）等于同一个量的两个量相等， （大前提）
∠2和∠3都等于∠1， （小前提）
∠2=∠3． （结论）
即AC平分∠BCD．
2. 同理可证DB平分∠CBA．
【总结升华】】
这个证明中如果把2.也详细地写出，则一共进行六次三段论推理．因此一个命题的证明形式，确切地叫复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论方法．但是事实上，每一次三段论推理的大前提并不写出，某一次三段论推理的小前提如果是它前面某次三段论推理的结论，也就不再写出了．
如上的证明可写成：
∵DA=DC， （省略了大前提）
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，且被AC截得内错角为∠1和∠3， （省略大前提）
∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，
即AC平分∠BCD． （省略大前提，小前提）
同理可证DB平分∠ABC．
这样，一般在推证命题时所采用的这种方法，就叫做简化的复合三段论法．
举一反三：
【变式1】如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：ED=AF.
【答案】
（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，（小前提）
所以，DF∥EA.（结论）
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）
DE∥BA且DF∥EA，（小前提）
所以，四边形AFDE为平行四边形.（结论）
（3）平行四边形的对边相等（大前提）
ED和AF为平行四边形的对边，（小前提）
所以，ED=AF.（结论）
上面的证明通常简略地表述为：
四边形AFDE是平行四边形ED=AF.
【变式2】用三段论证明函数在（－∞，+∞）上是增函数.
【答案】
法一：设，则，
因为，
所以，即.
于是根据“三段论”，得在上是增函数.
法二：.
当时，有恒成立，
即在（－∞，+∞）上恒成立.
所以在（－∞，+∞）上是增函数．