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- 2021-04-15 发布
南通中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1.设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出。
故“”是“”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
2.已知等差数列中,，，则的值是（ ）
A. 64 B. 31 C. 30 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的等和性即可.
【详解】因为是等差数列,所以,
所以．
故选：D．
【点睛】若是等差数列,且,则
本题考查了等差数列的性质,属于基础题．
3.己知关于x不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
二次函数恒成立问题利用判别式小于0列式求解即可．
【详解】不等式在R上恒成立,
即,
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题,属于基础题．
4.椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. -21 B. 21 C. 或21 D. 或21
【答案】C
【解析】
试题分析：当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C
考点：椭圆方程及性质
5.已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的标准方程为（其中）.又因为焦距为，所以.所以.
故本题正确答案为D.
6.不等式的解集是，则等于 （ ）
A. 14 B. 14 C. 10 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据不等式的解集得到方程的解为或，进而求出a与b的数值，即可得到答案．
【详解】由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，
所以方程ax2+bx+2=0的解为或，
所以a-2b+8=0且a+3b+18=0，
所以a=-12，b=-2，
所以值是-14．
故选B．
【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．
7.已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：累加法求解。
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。
8.已知等差数列的公差,且成等比数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为是等比数列,所以有,利用基本量法求得首项和公差之间的关系,再写出通项公式代入即可求值．
【详解】等差数列中,因为成等比数列,
所以有,即,解得,
所以该等差数列的通项为
则．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比中项的用法,属基础题型．
9.已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵正项等比数列的公比为3，且
∴
∴
∴，当且仅当时取等号.
故选C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
10.己知数列的通项公式是．设数列的前n项和为，则使成立的最小自然数n的值是（ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
由,再由数列的裂项相消求和,可得前n项和,再由对数不等式的解法可得n的最小值．
【详解】,可得前n项和
,当时
则,即,所以使成立的最小自然数n的值是16．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的裂项相消求和,对数不等式的解法,考查运算能力,属于基础题．
11.我们把由半椭圆与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”(其中).如图,设点是相应椭圆的焦点,和是“果圆”与轴的交点,若是边长为的等边三角,则的值分别为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据“果圆”的定义以及是边长为的等边三角可知，，，，得，即，故选A.
【方法点睛】本题考查椭圆的几何性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是通过定义“果圆”达到考查椭圆的几何性质的目的.
12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题（本大题共4小题）
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．
14.己知命题p：，，且p是假命题，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
命题p是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．
【详解】∵命题p：,是假命题,则
∴恒成立,
∴,
∴或,
故答案为：．
【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型．
15.规定记号“⊙”表示一种运算，定义（a，b为非负数），若，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知新定义可转化不等式得,化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求解．
【详解】由
∵,
∴,
∴,,
∴|,
∴
故答案为：．
【点睛】本题以新定义为载体,主要考查了二次不等式与绝对值不等式的求解,属于基础试题．
16.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
三、解答题（本大题共6小题）
17.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【答案】(1) (2)或
【解析】
【分析】
(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，在椭圆的定义，求得
的值，即可得到椭圆的方程；
（2）由题意知，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可得到椭圆的方程.
【详解】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义知，
，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，
又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为
或.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理应用椭圆的标准方程和几何性质求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.(1)设函数,若对于,恒成立,求实数x的取值范围；
(2)关于x的方程的两个根,一个在区间内，另一个在区间，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】
(1)将看做主元,写成关于的不等式,再根据恒成立的方法求最值即可；
(2)构造函数,根据方程根一个在区间内,另一个在区间,有
从而求实数m的取值范围即可.
【详解】(1)对于,恒成立,即,
可得,由于恒成立
令看成关于m的一次函数,且在上单调递增,
∴时取得最大值为
∴,
解得,
故得x的取值范围为；
(2)记,
∵方程的一根在区间（0,1）上,另一根在区间（1,2）上,
∴有
即；
解得：；
∴实数m的取值范围是．
【点睛】本题考查了变元的思想,通过变元,转化为m的函数,利用函数的单调性求函数最大值；再把恒成立问题转化为求函数的最值问题的过程中,体现了转化的思想方程；还考查了对根的讨论,函数与方程思想,以及学生的计算能力,要正确建立关于零点的不等式,属于中档题．
19.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
20.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【答案】（1）最多调整500名；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．
（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求的范围．
【详解】（1）设调整出名员工，则由题意，得，即，又，所以．
即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，所以，
所以，即在时恒成立．
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以．所以的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为
，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；
（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案．
【详解】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e==2，则a=2c．
又∵a2=b2+c2，∴．
∴椭圆的标准方程为：．
又∵点P（1，）为椭圆上一点，∴，解得：c=1．
∴椭圆的标准方程为：．
（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．
∴由韦达定理可知：，．
∵，，且k1=2k2，∴，即．①
又∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，
∴，．②
将②代入①可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．
∴，即12k2-20k+3=0．
解得：或．
又由k＞1，则．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题．
22.各项为正的数列满足，
（1）当时，求证：数列是等比数列，并求其公比；
（2）当时，令，记数列的前n项和为，数列的前n项之积为，求证：对任意正整数n，为定值．
【答案】(1)证明见解析，公比为．(2) 定值2．证明见解析
【解析】
【分析】
(1)递推式两边同除,得出关于的方程,进而求得,得出结论；
(2)化简整理可得,求出,关于的表达式代入计算即可得出结论．
【详解】证明：(1)当时, ,
∴,
令,则,化为,因为所以解得．
∴数列是等比数列,其公比．
（2）当时, ,∴,
∴．
∴
因为, 所以．
即
又,因
所以,
∴,又
即
∴为定值．
∴对任意正整数n, 为定值2．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的判断,求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．