- 1.37 MB
- 2021-04-15 发布
www.ks5u.com
宁波效实中学2019学年度第一学期高一数学期中考试
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.满足条件的所有集合的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用条件,则说明中必含有元素3，然后进行讨论即可.
【详解】，一定属于，
则满足条件的或或或，共有4个，故选D.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
2.已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的定义域再构造使函数的解析式有意义的x的不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域．
【详解】有意义， ，则有意义的x满足，故的定义域为
故选：A
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域的求法即对应法则f中括号内整体的取值范围不变，是解答本题的关键．
3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】
运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到结论．
【详解】A，f（x）＝x（x∈R）与g（x）＝（）2＝x（x≥0），定义域不同，故不为同一函数；
B，f（x）＝|x|与g（x）x，对应法则不同，故不为同一函数；
C，=（x∈R），故为同一函数；
D，f（x）x+1（x≠1），g（x）＝x+1（x∈R），定义域不同，故不为同一函数．
故选：C．
【点睛】本题考查同一函数的判断，只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题．
4.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，然后f（x）可分解为y＝和u＝x2+2x﹣3，根据复合函数单调性的判断方法可求得f（x）的增区间．
【详解】由x2+2x﹣3≥0可得，x≤﹣3或x≥1，
可看作由y＝和u＝x2+2x﹣3复合而成的，
u＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增，
又y＝递增，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增，
故的单调递增区间是（1，+∞）．
故选：D．
【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，属中档题，注意单调区间要在函数的定义域内求解．
5.已知函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出f（1）＝f（4）＝42+1＝17，f（3）＝32+1＝10，由此能求出f（1）﹣f（3）的值．
【详解】∵函数f（x），
∴f（1）＝f（4）＝42+1＝17，
f（3）＝32+1＝10，
∴f（1）﹣f（3）＝17﹣10＝7．
故选：A．
【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6.已知则下列命题成立的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质去判断和证明A，当判断B．利用函数图像判断C；利用幂函数f（x）＝x3的单调性判断D．．
【详解】当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以A错误．
当 则，所以B错误．
在同一个坐标系画出的图像：
易知所以C错误．
因为函数 f（x）＝x3在定义域上单调递增，所以由a3＞b3得a＞b，又ab>0，所以a，b，同号，所以成立．所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查不等关系以及不等式的性质，要求熟练掌握不等式的性质以及不等式成立的条件．
7.若函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则在区间上（ ）
A. 与都是递增函数 B. 与都是递减函数
C. 是递增函数，是递减函数 D. 是递减函数，是递增函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列f（x），g（x）的方程组，求出解析式，再判断单调性即可
【详解】根据题意，f（x）+g（x）＝2x，则f（-x）+g（-x）＝
又由y＝f（x）与y＝g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则-f（x）+g（x）＝可得：f（x）
易知f（x）增函数，
又任取 则，因为则，故，即是递增函数
故选：A．
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式，关键是构造方程组，属于基础题．
8.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵函数f（x）=是R上的增函数，
∴，
解得：a∈[4，8），
故选：D．
点睛：本题主要考查函数单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.
9.已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递减. 若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断为偶函数，不等式化为：，再由f（x）的单调性列出不等式，再解指数不等式求出x的取值范围．
【详解】设，故为偶函数，所以
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上单调递减，
则化为，则
解得0＜x或-1x，则的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．
10.已知函数，，若对于任一实数，与
的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当时，显然成立
当时，显然不成立；
当显然成立；
当时，则两根为负，结论成立
故,故选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共7小题，共24分.
11.________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分数指数幂运算求解即可
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查分数指数幂的运算，准确计算是关键，是基础题
12.若，则_________；________．
【答案】 (1). 24 (2).
【解析】
【分析】
利用换元法求函数的解析式即可求解
【详解】令，则
故，则24
故答案为： 24 ；
【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题
13.已知，若，则_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
令g（x）＝ax3﹣bx，根据奇函数的定义即可求出答案．
【详解】令g（x）＝ax3+bx，则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，
∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，
∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．
故答案为：1
【点睛】本题考查了奇函数定义，构造奇函数是关键，是一道基础题．
14.已知函数，把的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，则的解析式为________；的递减区间为_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据函数图象平移的知识，由得到g（x）的解析式；画出函数的图像即可求单调减区间
【详解】∵函数，f（x）的图象向右平移一个单位，得到y的图象，再向上平移一个单位，得到再向上平移一个单位，得到=的图象；∴函数=,画出函数的图像如图：则的递减区间为
【点睛】本题考查了函数图象平移的知识以及函数图像，考查利用图像求单调区间，是基础题．
15.已知函数，则的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
分段求值域，然后再综合即可得出f（x）的值域；
【详解】则时，
，故的值域为
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数的值域，熟记分式函数与对勾函数性质是关键，同时也考查推理以及分析问题、解决问题的能力，
16.已知函数，且，则的最小值为________；满足条件的所有的值为_________．
【答案】 (1). 2 (2). 1或3
【解析】
【分析】
去绝对值得分段函数则最小值可求；利用函数为偶函数解方程即可
【详解】，则最小值为
函数即函数为偶函数
若,
则,或
即,或
解得,或
故答案为：2 ；1或3
【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数奇偶性的应用，准确判断函数为偶函数是关键，是中档题
17.已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数f（x）的值域A，设函数g（x）的值域为B，讨论m的取值，求出g（x）的值域，根据题意，有A⊆B，由数集的概念，求出m的取值范围．
【详解】∵函数f（x）＝2x＝2（x+2）+2＝3，
∴当x∈[﹣2，2]时，2≤f（x）≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]；
又当x∈[﹣2，2]时，
①若m＜﹣2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是增函数，最小值g（﹣2）＝9m+2，最大值g（2）＝m+2；
∴g（x）的值域是[9m+2，m+2]，
∴[2，3]⊆[9m+2，m+2]，
即，解得﹣1≤m≤0，此时无解；
②若m＞2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是减函数，最小值g（2）＝m+2，最大值g（﹣2）＝9m+2；
∴g（x）的值域是[m+2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[m+2，9m+2]，
即，解得m≤0，此时无解；
③若﹣2≤m≤2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是先减后增的函数，
最小值是g（m）＝﹣m2+5m﹣2，最大值是max{g（﹣2），g（2）}＝max{9m+2，3m+2}；
∴当m≥0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，
即，
解得m≤1，或m≥4（不符合条件，舍去）；
则取m≤1；
当m＜0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，m+2]，
∴[2，3]⊆[﹣m2+5m﹣2，m+2]，
即；
解得m＝1，或m≥4，不符合条件，舍去；
综上知，实数m的取值范围是：[，1]．
故答案为：[，1]．
【点睛】本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是难题．
三、解答题：本大题共5小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.已知为正数.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）最大值（2）最小值．.
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式求得xy的最大值．
（2）变形为 利用“1”的代换求得最小值．
【详解】（1）当且仅当x＝y＝时，等号成立．
∴xy最大值为 ．
（2）故，则当且仅当，即时取等号，
∴最小值为．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
19.已知集合.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简集合A、B，求出（2）化简集合C，知C⊆B
，由此列不等式求出a的取值范围．
【详解】（1）因为A＝
B＝{x|－x≤2x﹣6≤x}＝{x|2≤x≤6}，
所以
（2）
若，则
当 ，满足题意
当，，则，即
当，，则，即
综上：实数的取值范围是
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，考查集合的包含关系求，考查含参二次不等式解法，准确分类是关键，是中档题．
20.已知二次函数满足且.
（1）求函数的解析式；
（2）若且在上的最大值为8，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数列方程即可求解．
（2）换元法转化为，利用定义域与对称轴的位置关系求最大值即可求解
【详解】（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
∴对称轴x＝1，
∵f（1）＝-4，∴a+b＝-3，
a＝3，b＝-6．c＝﹣1，
∴，
（2）∵x∈[，1]，t＝，则
当，故在先减后增，又 故最大值为=8，解得
同理当，故在上最大值为=8，解得
综上：或
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，考查分类讨论求最值，注意换元后新元范围与对称轴远近的比较，属于综合题目，理解题意最关键．
21.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数在上的图象；
（3）解关于的不等式（其中）.
【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；
（2）由（1）画出函数f（x）的图象；
（3）根据函数单调性，得x的一元二次不等式，分解因式，讨论两根大小解不等式即可；
【详解】（1）设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝
又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），于是x＜0时f（x）＝，
所以
（2）
（3）由（2）知f（x）在R上单调递减，
故等价为
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；当时，或.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．
22.已知函数.
（1）讨论的奇偶性；
（2）当时，求在的值域；
（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）当a＝0时，利用定义判断f（x）为奇函数；当a≠0时，利用特值判断f（x）为非奇非偶函数；
（2）将a＝4代入，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；
（3）去绝对值，分离参数，转化为基本不等式求最值即可
【详解】（1）当a＝0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，理由如下：
当a＝0时，函数f（﹣x）＝﹣x |x|＝﹣f（x），此时，f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（a）＝﹣a，f（﹣a）＝﹣2a|a|﹣a，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）当a＝4时，函数
当1≤x≤4时，f（x）＝4x﹣x2﹣4∈[﹣4，0]，
当5≥x＞4时，f（x）＝x2-4x-4∈[﹣4，1]，
综上，当a＝4时，求f（x）的值域为[﹣4，1]，
（3）对任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立转化为|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.
当a≤0时,显然不等式恒成立.
当a>0时,|x-a|≥可化为x-a≥或x-a≤-,
由x-a≥得a≤=x+1+-2,
令g(x)=x+1+-2,则g(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以g(x)≥4+-2=,故a≤;
由x-a≤-得a≥=x-1++2,
令h(x)=x-1++2,则h(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以h(x)≤4++2=,故a≥.
综上,实数a的取值范围为或.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．