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- 2021-04-15 发布
重庆市巴蜀中学2019级高二上期末考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处取得极值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在处取得极值，
故选A．
2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为5，底面是直角边长分别为3，4的直角三角形，∴三棱柱的体积
故选C．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
3. 命题“，均有”的否定形式是（ ）
A. ，均有
B. ，使得
C. ，均有
D. ，使得
【答案】B
【解析】由命题的否定可知命题“，均有”的否定形式是“，使得”.
故选B
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“”可得“”，由“”可得“ ”，故“”是“”的充分不必要条件
故选A.
5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】模拟程序的运行，可得；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体， ；
不满足条件，退出循环，输出的值为14．
故选C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.
6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图象得:在上,;在上, ;所以函数在单调递减, 在上单调递增,故选D.
7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
【答案】D
【解析】试题分析：由,可知,又,所以，正确；
由,知或，而，所以，，正确；
由,知，正确；综上知，故选.
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵函数函数在区间上单调递增，∴当时，
恒成立，即 即的取值范围为
故选B
9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】第一次运行，，满足条件，
第二次运行，，满足条件，，
第三次运行，，满足条件，，
此时不满足条件，输出，
故条件应为，8，9，10满足，不满足，
故条件为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键．
10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：设的坐标为
由 则直线的方程为
令时，则 即
则直线的方程为
令，则
即
故选B
11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图，连接交于，连接，则
∴当最小时，最大，最大，最小.
即时，最大，如图，作于，
设正方体棱长为1，
故选B
12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 由于是以为底边的等腰三角形.若 即有 由椭圆的定义可得 由双曲线的定义可得 即有再由三角形的两边之和大于第三边，可得 则即有由离心率公式可得
由于 ，则有 ，即
故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若双曲线的离心率为，则__________．
【答案】
【解析】双曲线的离心率
即答案为.
14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．
【答案】12
【解析】抛物线的准线方程为：，焦点为，过向准线作垂线，垂足为，
故答案为：12．
15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由题，平面，， 是三棱锥的外接球直径；
可得外接球半径
∴外接球的表面积 ．
即答案为 ．
16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由，则
令，解得；令，解得．在是减函数，在
是增函数，即
对于任意的，，不等式恒成立，则有 即可．
即不等式对于任意的恒成立，
当时，，在是减函数， ， 符合题意．
当时，，
令 ，解得 ；令，解得．
当 即时，在 是减函数，
， （舍去）．
当 即时，在是增函数，在 是减函数，
，恒成立．得
符合题意．
当 时，当时，，这与对于任意的 时 矛盾．故不成立
综上所述的取值范围为．
即答案为
三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.
（Ⅰ）求证：平面 平面；
（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解.
试题解析：（）证明：∵是正方形，
∴，
又∵底面，
∴，
∵，
∴面，
又∵面，
∴面面．
（）
设，连接，
由（）可知平面，
∴为与平面所成的角，
又∵，分别为，中点，
∴，，
又∵底面，
∴底面，
∴，
在中，
，
∴，
即与平面所成的角的大小为．
18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.
（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.
【答案】（1） （2）1
【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线：过点，且.
列出方程组，即可求出；
（2）由得所以斜率为，进而求得直线方程为得，由此可求的面积.
试题解析：
（1）由得 ，；
（2）由得所以斜率为
直线方程为得，所以的面积是.
19. 已知函数在处切线为.
（1）求；
（2）求在上的值域。
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）求导，由直线斜率为，即可求；由可求；
（2）由可知在递减，在递增，比较，，的函数值可得在上的值域.
试题解析：（1），直线斜率为，由得；由得
（2） 得在递减，在递增，又，，，所以值域是
20. 在多面体中，四边形是正方形，，，，.
（Ⅰ） 求证：平面；
（Ⅱ）在线段上确定一点，使得平面与平面所成的角为.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点满足时，平面与平面所成角的大小为.
【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可证明平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，平面，则平面平面
.....................
.
易知平面的一个法向量.由向量的夹角公式
， 化简得，.
即当点满足时，平面与平面所成角的大小为.
试题解析：（Ⅰ）四边形是正方形，.
在中，，即得
，即，在梯形中，过点作，交于点.
，，，
在中，可求，，
，.
又，
平面，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
平面，又平面，
平面平面
如图，过点作平面的垂线，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，， ，.
设，，则.
设平面的一个法向量，则，
即令，得
.
易知平面的一个法向量.
由已知得 ，
化简得，.
当点满足时，平面与平面所成角的大小为.
21. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，过点与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，
由题意的面积为，
由已知得，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）显然，设，，由得，
由已知得，即，
且，，
由，得，即，∴，
∴，即．
当时，不成立，∴，
∵，∴，即，
∴，解得或．
综上所述，的取值范围为或.
22. 已知函数（其中是自然对数的底数.）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有两个零点，时，证明：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对进行分类讨论，确定在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（2）先求出，令，求出，问题转化为证明
，构造函数，通过函数的单调性证明即可．
试题解析：（1）解：因为，
当时，令得，所以当时，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增；
当时，恒成立，故此时函数在上单调递增.
（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，
设函数的两个零点为，，且. 由题意得： ， ②-①得：
令 ，则 ∴③可化为：
要证： 只需证：
即证：
构造函数 ，则
在单调递增，
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用及转化思想.其中（2）求出 问题转化为构造新函数，通过求导得到新函数单调性是解题的关键．