新课标备战高考数学文专题复习74直线平面简单几何体——直线与平面垂直 5页

第74课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面垂直 课题：直线与平面垂直 一．复习目标：‎ ‎1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；‎ ‎2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。‎ 二．知识要点：‎ ‎1．直线与平面垂直的判定定理是 ；‎ 性质定理是 ；‎ ‎2．三垂线定理是 ；‎ 三垂线定理的逆定理是 ；‎ ‎3．证明直线和平面垂直的常用方法有：‎ 三．课前预习：‎ ‎1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）‎ ‎①②③ ②③④ ①③④ ②④‎ ‎3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）‎ ‎4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：‎ ‎①若，，则是的垂心 ‎②若两两互相垂直，则是的垂心 ‎③若，是的中点，则 ‎④若，则是的外心 其中正确命题的命题是 ①②③④ ‎ 四．例题分析：‎ 例1．四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面 ‎ 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，‎ ‎∴‎ ‎，又∴，∴在中，‎ ‎∴，∴，又，即，‎ ‎∴平面 ‎ 例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，‎ ‎（1）求证：；（2）当，时，求的长。‎ ‎（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，‎ ‎ ∴，∵ 平面 ，∴ 平面 ‎ ‎ ∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结，∵‎ ‎∴，又，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴，由三垂线定理得 ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∵平面 ‎∴，且，∴‎ 例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面 证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，‎ ‎∵平面，∴平面，∴是在 平面内的射影。在中，‎ 在中，，∴‎ ‎∴，∴，∴平面 五．课后作业：‎ ‎1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）‎ 若且，则 若且，则 若且，则 且，则 ‎ ‎2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ）‎ ‎（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M ‎（C）N⊥Ma∥N （D） ‎ ‎3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）‎ 线段 线段 的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段 ‎4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面 ‎ ①若∥ ②若∥.‎ ‎ ③若、④若∥‎ ‎ 上面四个命题中真命题的个数是 ‎ ‎5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，‎ ‎（1）求证：平面； （2）求证：‎ ‎（3）若，求证：平面 ‎6．是矩形，，沿对角线把折起，使，‎ ‎（1）求证：是异面直线与的公垂线；（2）求的长。‎ ‎7．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：‎ ‎8．矩形中，，平面，且，边上存在点，使得，求的取值范围。‎