2018-2019学年四川省成都外国语学校高二3月月考数学（理）试题 解析版 22页

绝密★启用前 2018-2019 学年四川省成都外国语学校高二 3 月月考数学（理） 试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,所以 ,选 C. 2．下列导数式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的运算法则，即可作出判定，得到答案． 【详解】 根据导数的运算法则，可得 ，所以 A 不正确； ，所以 B 不正确； 由 ，所以 C 不正确；由 是正确的，故选 D． 【点睛】 本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查 了运算与求解能力，属于基础题． 3．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 取最小值时的最优解 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 作出可行域如图所示： 标函数 ，即平移直线 ，当直线经过点 A 时， 最小. ，解得 ，即最优解为 . 故选 B. 4．已知 ，则 等于（ ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数 的解析式求导，得到其导函数，把 代入导函数中，列出关于 的方程， 进而得到 的值. 【详解】 ， ， 令 ，得到 ， 解得 . 故选：A. 【点睛】 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错 误． 5．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测 量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展 所对应的散点图，并求得其回归方程为 ，以下结论中不正确的为（ ） A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系， C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的 极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C 将 190 代入回归方程可得到 的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程 x 的系数可得到增量为 11.6 厘 米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】 A，身高极差大约为 25，臂展极差大于等于 30，故正确； B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂 展就长一些，故正确； C，身高为 190 厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于 189.65 厘米，但是不是准确 值，故正确； D，身高相差 10 厘米的两人臂展的估计值相差 11.6 厘米，但并不是准确值，回归方程 上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为：D. 【点睛】 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数 据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系， 这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定 关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准 确值. 6．如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由于 ， ， ，代入化简即可得出． 【详解】 ， ， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 7．已知 为等差数列， 为其前 项和，公差为 ，若 ，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由 可得 ,故数列 是以 为 首项, 为公差的等差数列,所以由 可得 ,解之得 ,故应选 B． 考点：等差数列的前 项和与通项公式及运用． 8．若函数 在 上有最大值无最小值，则实数 的取值范围 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：函数 在 上有最大值无最小值，则极大值在 之间， 一阶导函数有根在 ，且左侧函数值小于 0，右侧函数值大于 0，列不等式求解 详解：函数 在 上有最大值无最小值，则极大值在 之间， 设 的根为 ，极大值点在 处取得则 解得 ，故选 C。 点睛：极值转化为最值的性质： 1、若 上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为 的最小值； 2、若 上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为 的最大值； 9．已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ， 若 ，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 g（x） ，由 g′（x） ，可得函数 g（x）单调递减，再 根据函数的奇偶性得到 g（x）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数 g（x） ， ∴g′（x） ， ∵xf′（x）﹣f（x）＜0， ∴g′（x）＜0， ∴函数 g（x）在（0，+∞）单调递减． ∵函数 f（x）为奇函数， ∴g（x） 是偶函数， ∴c g（﹣3）＝g（3）， ∵a g（e），b g（ln2）， ∴g（3）＜g（e）＜g（ln2）， ∴c＜a＜b， 故选：D． 【点睛】 本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力， 属于中档题． 10．已知抛物线 上有三点 ， 的斜率分别为 3，6， ，则 的 重心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求 横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】 设 则 ，得 ， 同理 ， ，三式相加得 ， 故与前三式联立，得 ， ， ， 则 .故所求重心的坐标为 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算， 对学生的能力有一定的要求，属于中档题. 11．1642 年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机 年，莱布尼 茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂， 随即提出了“二进制”数的概念之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方 法如下：对于正整数 ， ，我们准备 张不同的卡片，其中写有数字 0，1，…， 的卡片各有 张如果用这些卡片表示 位 进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片 可以表示 个不同的整数例如 ， 时，我们可以表示出 共 个不同 的整数 假设卡片的总数 为一个定值，那么 进制的效率最高则意味着 张卡片所表 示的不同整数的个数 最大根据上述研究方法，几进制的效率最高？ （ ） A．二进制 B．三进制 C．十进制 D．十六进制 【答案】B 【解析】 【分析】 设 为定值，可得 nx 张卡片所表示的不同整数的个数 ， ，假设 ， ，可得 ，即 ，利用求导研究其单调性即可求出答案。 【详解】 设 为定值， 则 nx 张卡片所表示的不同整数的个数 ， ， 假设 ， ， 则 ，即 ， 求导可得： ， 因为 ，所以当 ， ，当 ， ， 可得 时，函数 取得最大值， 比较 ， 的大小即可， 分别 6 次方可得： ， ， 可得 ， ． 根据上述研究方法，3 进制的效率最高。 故选：B． 【点睛】 本题考查了函数的单调性、极值与最值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题。 12．已知函数 ，函数 ，若方程 有 4 个 不同实根，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 方程 ，化为 ，即 或 ，要使方程 有 4 个 不同实根，则需方程 有 3 个不同根，当 时，方程 有 1 个根， 则只需： 时， 与 有两个交点即可，数形结合可得到答案。 【详解】 解：方程 ，化为 ，即 或 ， 要使方程 有 4 个不同实根，则需方程 有 3 个不同根， 如图： 而当 时，方程 有 1 个根， 则只需： 时， 与 有两个交点即可． 当 时， ， 过点 作 的切线，设切点为 （ ）， 切线方程为 ，把点 代入上式得 或 ， 因为 ，所以 ， 切线斜率为 ，所以 ，即 ， 当 时， ，与 轴交点为 令 ，解得 ． 故当 时，满足 时， 与 有两个交点， 即方程 有 4 个不同实根。 故选：B. 【点睛】 本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于难题。 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知向量 ，若 ，则实数 的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意知，向量 ，所以 ，由空间向量的坐标运算，即可求解。 【详解】 由题意知，向量 ，所以 ， 又由 ， 解得 。 【点睛】 本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空 间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属 于基础题。 14．已知 ，则 的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数的基本关系式，化简得原式 ，代入即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，可得 ． 【点睛】 本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式化简、求值，其中解答中熟练应用同角 三角函数的基本关系式化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础 题． 15．如图所示，正方形的四个顶点 ， ， ， ，及抛物 线 和 ，若将一个质点随机投入正方形 中，则质点落在图 中阴影区域的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据微积分基本定理，求得函数 与 轴的正半轴所围成的面积为 ，得出图 中阴影部分的面积为 ，利用面积比的几何概型，即可求解相应的概率。 【详解】 根据微积分基本定理，可得函数 与 轴的正半轴所围成的面积为： ，即图中阴影部分的面积为 ， 所以质点落在图中阴影区域内的概率为 。 【点睛】 本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，以及几何概型中概率的求解，其中解答 中利用微积分基本定理求出曲边形的面积是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能 力，属于基础题。 评卷人 得分 三、解答题 16．如图：已知双曲线 中， 为左右顶点， 为右焦点， 为虚 轴的上端点，若在线段 上（不含端点）存在不同的两点 ,使得 构成以 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率 的取值范围是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 求证直线 BF 的方程 ，利用直线与圆的位置关系，结合 ，即可求解 双曲线的离心率 的取值范围。 【详解】 由题意，显然 ，则 ，据此可得 ， 在线段 上（不含端点）存在不同的两点 ,使得 构成以 为斜边的直角三角形，等价于以 为直径的圆与线段 有两个交点， 以 为直径的圆圆心坐标为 ，半径为 ， 直线 的方程为 ，即 ，所以 ， 又由 整理可得： ，故 ， 解得 ，结合 ， 综上可得双曲线离心率 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟 记双曲线的几何性质，以及合理应用直线与圆的位置关系准确运算是解答的关键，着重 考查了运算与求解能力，属于基础题． 17．设命题 ：函数 无极值．命题 ， （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由命题 真时，可得 恒成立，得 ，即可求解； （2）求得 A={ }， B={ }，根据 是 的充分不必要条件，转 化为 B A，列出不等式组，即可求解。 【详解】 （1）由题意，命题 真时，则 恒成立， 所以 ，解得 （2）命题 真： ，设集合 A={ }，集合 B={ } 因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件， 即 B A，则有 ，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中准 确求解命题 对应的集合是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于基础题。 18． 汉字听写大会 不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大 约 10 万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试 情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间，将测试结果按如下 方式分成六组：第 1 组 ，第 2 组 ， ，第 6 组 ，如图是按 上述分组方法得到的频率分布直方图． 若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访，求被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率 试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数； 已知第 4 组市民中有 3 名男性，组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传 统文化宣传队，求至少有 1 名女性市民的概率． 【答案】（1）0.32（2）平均数 168.56；中位数：168.25（3） 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率； 利用频率分 布直方图能求出平均数和中位数； 共 人，其中男生 3 人，设为 a，b， c，女生三人，设为 d，e，f，利用列举法能求出至少有 1 名女性市民的概率． 【详解】 被采访人恰好在第 2 组或第 6 组的概率 平均数 设中位数为 x，则 中位数 共 人，其中男生 3 人，设为 a，b，c，女生三人，设为 d，e， 则任选 2 人，可能为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15 种， 其中两个全是男生的有 ， ， ，共 3 种情况， 设事件 A：至少有 1 名女性， 则至少有 1 名女性市民的概率 【点睛】 本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题． 19．已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)在[0,2]上的最值； (2)若函数 f(x)在(－1,1)上单调递增，求 a 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)a≥ . 【解析】 【分析】 (1) 当 a＝2 时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值； (2)根据函数 f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为 在(－1,1)上恒成立，再利用 分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解． 【详解】 (1) 当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)=0，则 x=－ 或 x= 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0， ) ( ，2) 2 f′(x) + 0 - f(x) f(0)=0 ↗ 极大值 f( ) ↘ f(2)=0 所以，f(x)max= f( )=(-2+2 )e ,f(x)min= f(0)=0. (2)因为函数 f(x)在(－1,1)上单调递增，所以 f′(x)≥0 在(－1,1)上恒成立． 又 f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到 ex>0， 因此－x2＋(a－2)x＋a≥0 在(－1,1)上恒成立， 也就是 a≥ ＝x＋1－ 在(－1,1)上恒成立． 设 y＝x＋1－ ，则 y′＝1＋ >0， 即 y＝x＋1－ 在(－1,1)上单调递增， 则 y<1＋1－ ＝ ，故 a≥ . 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与 计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求 解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数 单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题， 同时注意数形结合思想的应用． 20．如图，在四面体 中， 分别是线段 的中点， ， ， ，直线 与平面 所成的角等于 ． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 。 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先证得 ，再证得 ，于是可得 平面 ，根据面面垂直的判 定定理可得平面 平面 ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解 即可得到所求． 【详解】 （Ⅰ）在 中， 是斜边 的中点， 所以 . 因为 是 的中点， 所以 ，且 ， 所以 ， 所以 . 又因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． （Ⅱ）方法一：取 中点 ，连 ，则 ， 因为 ， 所以 . 又因为 ， ， 所以 平面 ， 所以 平面 ． 因此 是直线 与平面 所成的角． 故 ， 所以 . 过点 作 于 ，则 平面 ， 且 ． 过点 作 于 ，连接 ， 则 为二面角 的平面角． 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因此二面角 的余弦值为 ． 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴⊥BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ． 因为 (同方法一,过程略) 则 ， , ． 所以 , , ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ,得 ． 设平面 的法向量 则 ，即 ，取 ,得 ． 所以 ， 由图形得二面角 为锐角， 因此二面角 的余弦值为 ． 【点睛】 利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解， 注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过 求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系． 21．已知圆 ： ，点 ，C 为圆 上任意一点，点 P 在直线 C 上，且满足 ，点 P 的轨迹为曲线 E． 求曲线 E 的方程； 若直线 l： 不与坐标轴重合与曲线 E 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，设 直线 OM、ON 的斜率分别为 、 ，对任意的斜率 k，若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 由题意可得点 P 的轨迹是以 为焦点的椭圆，即可求出曲线 E 的方程; 设 ， 根据韦达定理结合斜率公式，以及 ，可得 ，再分类讨论，根据判别式即可求出 的取值范围. 【详解】 由 ，可得 ， 则点 P 的轨迹是以 为焦点的椭圆， 则 ， ， ， 则曲线 E 的方程为 ， 设 ， ， 则 ，消 y 可得 ， ， ， 当 时， ， 当 时， ， 由于 对任意 k 恒成立， 则 ， ， ， 综上所述 ． 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭 圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档 题．其中涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的， 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故 用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问 题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22．已知函数 ， . （1）若 在 处取得极值，求 的值； （2）设 ，试讨论函数 的单调性； （3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： . 【答案】（1） ．（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意，求得函数的导数 ，根据 ，即可求解； （Ⅱ）由题意，得 ，求得函数的导数 ，分类讨论，即可 求解函数的单调区间； （Ⅲ）代入 ，求出 ，令 ， ，根据函数的单调性，即可作出证明. 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 因为 在 处取得极值， 所以 ，解得 ． 验证：当 时， 在 处取得极大值． （2）解：因为 所以 ． ①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 当 时， ， 函数 在 上单调递减． ②若 ， ， 当 时，易得函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减； 当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增； 当 时，易得函数 在 和 上单调递增， 在 上单调递减． （3）证明：当 时， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ． 令 ， ， 则 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增． 所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ． 所以 ， 即 ，所以 或 ． 因为 为正实数，所以 ． 当 时， ，此时不存在 满足条件， 所以 ． 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思 想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查 导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断 单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与 有解问题，同时注意数形结合思想的应用.