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- 2021-04-15 发布
复习提问：
1
、古典概型的两个特点
:
(1)
试验中所有可能出现的基本事件只有
有限个
.
(2)
每个基本事件出现的
可能性相等
.
2
、计算古典概型的公式：
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢
?
创设情境：
往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点
……
这些试验可能出现的结果都是无限多个。
例如一个人到单位的时间可能是
8
：
00
至
9
：
00
之间的任何一个时刻；
问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问
卧室
在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
试试看
卧室
书房
转盘游戏
问题
:
图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
(1)
(2)
⑴
甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与区域的位置无关。在转转盘时，
指针指向圆弧上哪一点都是等可能的
。不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。
⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与图形的大小无关。
问题
:
甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗
?
甲获胜的可能性是由什么决定的？
(1)
(2)
(3)
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度（面积或体积）
成比例
,
则称这样的概率模型为几何概率模型
,
简称为
几何概型
.
几何概型的特点
:
(1)
试验中所有可能出现的结果
(
基本事件
)
有无限多个
.
(2)
每个基本事件出现的可能性相等
.
在几何概型中
,
事件
A
的概率的计算公式如下
:
几何概型的特点
试验中所有可能出现的基本事件有
无限个
每个基本事件出现的
可能性相等
古典概型与几何概型的区别
相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。
古典概型的特点
:
a)
试验中所有可能出现的基本事件只有
有限个
.
b)
每个基本事件出现的
可能性相等
.
例
1
判下列试验中事件
A
发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（
1
）抛掷两颗骰子，求出现两个
“
4
点
”
的概率；
（
2
）如课本
P129
图
3
．
3-1
中的
(2)
所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向
B
区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（
1
）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有
6×6=36
种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（
2
）游戏中指针指向
B
区域时有无限多个结果，而且不难发现
“
指针落在阴影部分
”
，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
探究规律：
几何概型公式（
1
）：
例
1
某人午觉醒来
,
发现表停了
,
他打开收音机
,
想听电台报时
,
求他等待的时间不多于
10
分钟的概率
.(
假设只有正点报时
)
分析
：假设他在
0~60
分钟之间任何一个时刻打开收音机是
等可能
的，但
0~60
之间有
无穷个时刻
，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。
我们可以通过随机模拟的方法得到随机事件发生的概率的近似值，也可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。
因为电台每隔
1
小时报时一次，他在
0~60
之间任何一个时刻打开收音机是
等可能
的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率
只与该时间段的长度有关
，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。
例
1
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于
10
分钟的概率。
解：设
A={
等待的时间不多于
10
分钟
}
，事件
A
恰好是打开收音机的时刻位于
[50
，
60]
时间段内，因此由几何概型的求概率公式得
P
（
A
）
=
（
60-50
）
/60=1/6
“
等待报时的时间不超过
10
分钟
”
的概率为
1/6
探究规律：
几何概型公式（
2
）：
例
2
有一杯
1
升的水，其中含有
1
个细菌，用一个小杯从这杯水中取出
0.1
升，求小杯水中含有这个细菌的概率
.
分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得
0.1
升水可作为事件的区域。
解：取出
0.1
升中
“
含有这个细菌
”
这一事件记为
A,
则
探究规律：
公式（
3
）：
公式（
2
）：
公式（
1
）：
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
(
面积或体积
)
成比例，则称这样的概率模型为
几何概率模型
(geometric models of probability)
，简称几何概型。
几何概型：
几何概型的公式
:
一个路口的红绿灯，红灯的时间为
30
秒，黄灯的时间为
5
秒，绿灯的时间为
40
秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？
（
1
）红灯；（
2
）黄灯；（
3
）不是红灯。
练习
1
（口答）
练习
1
．在
500ml
的水中有一个草履虫，现从中随机取出
2ml
水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A
．
0.5 B
．
0.4
C
．
0.004 D
．不能确定
练习
2
.
取一根长为
3
米的绳子
,
拉直后在任意位置剪断
,
那么剪得两段的长都不少于
1
米的概率有多大
?
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于
1m”
为事件
A
，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件
A
发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件
A
发生的概率
P
（
A
）
=1/3
。
3m
1m
1m
射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环
.
从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色
,
金色靶心叫
“
黄心
”
。奥运会的比赛靶面直径为
122cm,
靶心直径为
12.2cm.
运动员在
70m
外射箭
,
假设每箭都能中靶
,
那么射中黄心的概率是多少
?
图
3.3-2
练习
3
练习
1
：公共汽车在
0~5
分钟内随机地到达车站，求汽车在
1~3
分钟之间到达的概率。
分析
：将
0~5
分钟这段时间看作是一段长度为
5
个单位长度的线段，则
1~3
分钟是这一线段中
的
2
个单位长度。
解：设“汽车在
1~3
分钟之间到达”为事件
A
，则
所以“汽车在
1~3
分钟之间到达”的概率为
对于复杂的实际问题
,
解题的关键是要建立模型
,
找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域
,
把问题转化为几何概率问题
,
利用几何概率公式求解
.
解
.
以两班车出发间隔
(
0
，
10
)
区间作为样本空间
S
，
乘客随机地到达，即在这个长度是
10
的区间里任何
一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
假设车站每隔
10
分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过
3
分钟的概率 ？
要使得等车的时间不超过
3
分钟，即到达的时刻应该是
图中
A
包含的样本点，
0←
S
→10
p
(A) =
—————
=
——
= 0.3
。
A
的长度
S
的长度
3
10
练习
2
对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立概率模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。
解题方法小结：
课堂小结
1.
几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。
2.
几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。
3.
注意理解几何概型与古典概型的区别。
4.
理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。
作业
:137
页
A
组
1
、
2
题