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- 2021-04-15 发布
天津市第一中学2017—2018学年度高三年级二月考试卷
数 学（文史类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. {0,1,2} B. {1,2} C. {0} D. {0,1}
【答案】D
【解析】集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，
故选：B．
点睛：本题考查集合的运算，主要是交集、补集的求法，考查真子集的求法，属于基础题．
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，两边同乘以得：，当时，可得，推不出，综上是的充分不必要条件，故选A.
3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为 2，则输出的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】模拟执行程序，可得
A=2，S=0，n=1
不满足条件S>2，执行循环体，S=1，n=2
不满足条件S>2,执行循环体,S=32，n=3
不满足条件S>2,执行循环体,S=116，n=4
不满足条件S>2,执行循环体,S=2512，n=5
满足条件S>2，退出循环，输出n的值为5.
故选：C
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
4. 设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ②④ B. ③④ C. ①② D. ①③
【答案】B
【解析】对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；
对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；
对于③，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故③正确；
对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；故选B．
点睛：本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．
5. 已知奇函数在上是增函数，．若，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，
从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
6. 已知函数当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，
∵f（x）=，∴，
∴0＜a≤，故选：A．
7. 设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，
∴﹣≤==，即≤，∴0＜ω≤3．
∵f（）=f（）=﹣f（），∴x==，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，
且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，
∴=•=﹣=，解得ω=2∈（0，3]，∴T==π，故选：D．
点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．
8. 已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．
则=+b2﹣1．
∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．
∴+b2≥8，
∴=+b2﹣1≥7．故选B.
点睛：本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9. 已知是实数，是纯虚数，则 ___________.
【答案】
【解析】设=bi（b≠0），则a﹣i=（2+i）•bi=﹣b+2bi，∴，解得a=．
故填：．
10. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.
【答案】
【解析】，
∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，
∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，
∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．
∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．
点睛：本题考查了导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积计算，属于基础题．
11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】根据三视图知几何体是组合体，中间是长宽高分别为1，2，2的长方体、两边是两个半圆锥，半径为1，高为2，
∴该几何体的体积V=1×2×2+π•12•2=4+，故答案为4+．
点睛：本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．
12. 圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为__________.
【答案】
【解析】∵圆心在直线y=﹣4x上，
设圆心C为（a，﹣4a），圆与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），
则kPC==1，∴a=1．即圆心为（1，﹣4）．
r=|CP|==2，∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+4）=8．
故答案为：（x﹣1）2+（y+4）=8．
点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．
13. 在中，已知,若点满足,且,则实数的值为__________．
【答案】1或
【解析】中，，点满足，∴，
∴，又，整理得，解得或，故答案为 或.
14. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】函数,若函数有三个零点，
就是与有3个交点，
，画出两个函数的图象如图：
,
当x<0时,，当且仅当x=−1时取等号，此时−b>6，可得b<−6；
当时,当时取得最大值,满足条件的.
综上,.
给答案为：.
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，角所对的边分别为，且，已知,，.
（I）求和的值
（II）求的值
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算及三角形余弦定理可求得a,c的关系式，解方程可求得其值；由正弦定理可求得角B,C的正余弦值，代入公式可求得的值
试题解析：（1）由，得：，又，所以.
由余弦定理，得.又，所以.
解，得或.因为，∴.
（2）在中，.
由正弦定理，得，又因为，所以为锐角，
因此.
于是.
考点：正余弦定理解三角形及三角函数基本公式
16. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.
（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;
（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?
【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.
【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；
（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．
试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则，满足的数学关系式为
该二次元不等式组等价于
做出二元一次不等式组所表示的平面区域
（II）设公司的收益为元，则目标函数为：
考虑，将它变形为.
这是斜率为，随变化的一族平行直线，当截距最大，即最大.
又因为满足约束条件，所以由图可知，
当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.
解方程组得,
代入目标函数得.
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.
17. 如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，其中
的中点.
（Ⅰ）证明:平面
（Ⅱ）求二面角的正切值
（Ⅲ）求与平面所成角的余弦值
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．
（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．
（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．
试题解析：
（I）分别为的中点
平面 平面
平面
（II）取中点，连接
, 又
为二面角的平面角
又
∵平面平面，平面平面平面
平面 的余弦值即为所求
在中，
与平面所成角的余弦值为
点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18. 已知数列的前项和为，
（Ⅰ）求数列的通项公式
（II）设，为的前项和，求
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）当n为奇数时，bn==；当n为偶数时，bn==．
分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．
试题解析：（1）
又
∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列
由（1）知
所以
设，
则，
两式相减得，
整理得，所以.
点睛：本题考查了递推关系、等比数列的通项公式前n项和公式、“裂项求和”方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 已知数列中，
（I）求证：数列是等比数列
（II）求数列的通项公式
（III）设，若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）详见解析（2）（3）
【解析】试题分析：（I）由，变形为利用等比数列的定义即可证明．
（II）由（I）可得：，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．
（III），可得．利用“裂项求和”方法可得Sn，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出．
试题解析：
（I）证明：，
.
，，.
∴数列是首项、公比均为2的等比数列
（II）解：是等比数列，首项为2，通项，
故
，当时，符合上式，
∴数列的通项公式为
（III）解：，
故
若,使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为
点睛：本题考查了递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20. 已知函数，其中为自然对数的底数，
（I）若，函数
①求函数的单调区间
②若函数的值域为,求实数的取值范围
（II）若存在实数,使得，且，求证：
【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）；
【解析】试题分析：（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；
（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，]递减，在[，+∞）递增，设，则有
，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．
试题解析：
（1）当时，.
①.
由得，由得.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
②
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
在上单调递减，值域为,
因为的值域为，所以，
即.
由①可知当时，，故不成立.
因为在上单调递减，在上单调递增，且
所以当时，恒成立，因此.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的值域为，即.
在上单调递减，值域为.
因为的值域为，所以，即.
综合1°,2°可知，实数的取值范围是.
（2）.
若时，，此时在上单调递增.
由可得，与相矛盾，
同样不能有.
不妨设，则有.
因为在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时，.
由，且，可得
故.
又在单调递减，且，所以，
所以，同理.
即解得，
所以.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.