高考数学专题复习：合情推理与演绎推理 5页

第二章 2.1合情推理与演绎推理 一、选择题 ‎1、如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那这个数列的通项公式是(　　)‎ A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2n C．an＝3n＋1 D．an＝2·3n ‎2、已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 007(x)等于(　　)‎ A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x ‎3、已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为(　　)‎ A．3 B．－‎3 ‎ C．6 D．－6‎ ‎4、不等式a>b与>同时成立的充要条件为(　　)‎ A．a>b>0 B．a>0>b C．<<0 D．>>0‎ ‎5、若f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，下列说法正确的是(　　)‎ A．f(n)可以为偶数 B．f(n)一定为奇数 C．f(n)一定为质数 D．f(n)必为合数 二、填空题 ‎6、下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．‎ ‎7、已知两个圆：x2＋y2＝1， ①‎ 与x2＋(y－3)2＝1. ②‎ 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________‎ ‎________________________________________________________________________.‎ ‎8、f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N＋)．计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有 ‎__________________．‎ 三、解答题 ‎9、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．‎ ‎10、在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，‎ 第1列 第2列 第3列 ‎…‎ 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 第2行 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎…‎ 第3行 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．‎ ‎11、如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，E、F分别是A1B、A‎1C的中点，点D在B‎1C1上，A1D⊥B‎1C.‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)平面A1FD⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎12、＋＋＋…＋，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，‎ 由Sn＝an－3，当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ ‎∴an＝3an－1.‎ ‎∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.‎ 猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.]‎ ‎2、D　[由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，‎ f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…可以归纳出：‎ f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，‎ f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，‎ ‎∴f2 007(x)＝f3(x)＝－cos x．]‎ ‎3、A　[a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.]‎ ‎4、B　[⇔⇔ ‎⇔a>0>b.]‎ ‎5、B　[因为n∈N＋，所以f(n)＝n(n＋1)＋41，一定为奇数．]‎ 二、填空题 ‎6、125‎ 解析　第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为 ‎1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋＝27－3＝125.‎ ‎7、设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ③‎ ‎(x－c)2＋(y－d)2＝r2 ④‎ 其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程．‎ ‎8、f(2n)> 三、解答题 ‎9、解　猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S”．‎ 事实上，本题还需要严格意义上的证明：‎ 如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2＝EO·ED，‎ S＝BC2·AE2‎ ‎＝＝S△OBC·S△BCD，‎ 同理S＝S△BCD·S△OCD，S＝S△BCD·S△OBD，‎ 故S＋S＋S＝S.‎ ‎10、n2＋n 解析　由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.‎ ‎11、证明　(1)由E、F分别是A1B、A‎1C的中点知 EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.‎ 所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)由三棱柱ABC—A1B‎1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面A1B‎1C1.‎ 又A1D⊂A1B‎1C1，故CC1⊥A1D.‎ 又因为A1D⊥B‎1C，CC1∩B‎1C＝C，‎ 故A1D⊥平面BB‎1C1C，又A1D⊂平面A1FD，‎ 所以平面A1FD⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎12、解　n＝1时，＝；‎ n＝2时，＋＝＋＝；‎ n＝3时，＋＋＝＋＝；‎ n＝4时，＋＋＋＝＋＝.‎ 观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.‎ 所以猜想＋＋＋…＋＝.‎ 证明如下：‎ 由＝1－，＝－，…，＝－.‎ ‎∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－ ‎＝1－＝.‎