数学卷·2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题（解析版） 20页

广西柳州市 2018 届高三毕业班上学期摸底联考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 已知复数 满足 ，是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 得 ，所以复数 的虚部是 ，故选 B 3. 如图是调査某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比，从 图可以看出下列说法正确的（ ） ①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为 ③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不軎欢理科的比为 A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】由图知女生中喜欢理科的比为 ，男生不軎欢理科的比为 ，因此性别与喜 欢理科有关，选 C. 4. 已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,故选 B 5. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】依题意可画出可行域如下： 联立 ，可得交点(2,-1)，如图所示，当 经过点(2,-1)时，z 最大为 3. 故选 C. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确 无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取 得. 6. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 图统计数据表： 收入（万元） 8.3 8.5 9.9 11.4 11.9 支出（万元） 6.3 7.4 8.1 8.5 9.7 据上表得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收 入为 15 万元家庭的年支出为（ ） A. 11.4 万元 B. 11.8 万元 C. 12.0 万元 D. 12.2 万元 【答案】B 【解析】根据表格可求出， ，又因为 ，代入回归直线方程可求出 ，即可得到回归直线方程，当 15 时， 。 故选 B 7. 函数 在 上的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , 为奇函数,故图象关于原点对称,故排除 C, 当 时, ,故排除 D, 当 时, ,故排除 B，故选 A 8. 运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素 ，则 函数 是增函数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图可知：初始条件 1． 是，所以 ，从而 2． 是，所以 ，从而 3． 是，所以 ，从而 4． 是，所以 ，从而 5． 是，所以 ，从而 6． 是，所以 ，从而 7． 是，所以 ，从而 8． 否．从而集合 ；而函数 是增函数必须且只需 ，故所求概率 ，故选 C． 考点：1．程序框图；2．概率． 9. 过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的 体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 所得截面的面积与球的体积的比为 选 A. 10. 空间中，设 表示不同的直线， 表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】A 项，若 ，过正方体同一顶点的三个平面分别为 ，则 ，故 A 项不合题意； B 项，若 ，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则 ，故 B 项符合题 意； C 项，若 ，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面 内或平行可知，直线 m 在平面 内或平行，故 C 项不合题意； D 项，若 ,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面 内或平行可知，直线 m 在平面 内或平行，故 D 项不合题意. 故选 B. 11. 过双曲线 的右焦点 作圆 的切线 （切点为 ），交 轴于点 .若 为线段 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】试题分析：∵ ，且 ,∴ ， ∴ ,∴ ，即 ,∴ ,故选 A． 考点：双曲线的简单性质． 12. 已知函数 ，直线过点 且与曲线 相切，则切点的横坐标为 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】设切点 ， 令 ，选 A. 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行 转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之 间的关系，进而和导数联系起来求解. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 平面向量 与 的夹角为 ， ，则 __________． 【答案】 【解析】略 14. 已知焦点在 轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，若该椭圆的离 心率为 ，则椭圆的方程是__________． 【答案】 【解析】由题设知 , ,所以椭圆方程为 15. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则角 等于 __________． 【答案】 【解析】由 , 正弦定理,可得: , , 16. 已知函数 对任意 都有 ， 的图象关于点 对称且 ，则 __________． 【答案】 【解析】因为 的图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称， 即函数 为奇函数，由 得 ,所以 因此 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应 用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其 与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可 实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称 性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上. （1）求证：数列 为等差数列； （2）设 是数列 的前 项和，求 . 【答案】(1)见解析;（2） . 【解析】试题分析：(1)先求出 ,然后利用 时， 代入求解,最后验证 首项即可; (2)将 进行裂项,即 ,然后进行求和,消去一些项即可求出数 列 的前 n 项和. 试题解析：(1)依题意， ，即 ， 时， 当 时， 符合上式， 所以 . 又 ∵ ， ∴ 是一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列. （2）由（1）知， ， 故 . 18. 在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证: 平面 ； （3）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） . 【解析】试题分析：（1）欲证 OD∥平面 PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 OD 与平面 PAC 内一直线平行，而 OD∥PA，PA ⊂ 平面 PAC，OD⊄平面 PAC，满足定理条件；（2） 欲证平面 PAB⊥平面 ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面 PAB 内一直线与平面 ABC 垂 直，而根据题意可得 PO⊥平面 ABC； （3）根据 OP 垂直平面 ABC 得到 OP 为三棱锥 P-ABC 的高，根据三棱锥的体积公式可求出三 棱锥 P-ABC 的体积．又因为 D 为 PB 中点，所以高是 PO 的一半. 试题解析：（1）∵ 分别为 的中点， ∴ . 又 平面 , 平面 ， ∴ 平面 . （2）连接 ,∵ 为 中点， , ∴ . 同理， . 又 ， ∴ ， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ 平面 . （3）由（2）可知 平面 ， ∴ 为三棱锥 的高，且 . ∴ . 19. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试 成绩，整理数据并按分数段 进行 分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图. （1）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数； （2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在 和 的样本学生中 随机抽取 2 人，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在 的概率. 【答案】（1）750 人.（2） . 【解析】试题分析：（1）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 ，所以“体育良好”的学生人数大约为 （2）体育成绩 在 和 的样本学生共有 5 人，利用枚举法可得从这两组学生中随机抽取 2 人， 所有可能的结果为 10 种，其中体育成绩在皆在 有 3 种，即至少有 1 人体育成绩在 有 7 种，因此根据古典概型概率计算方法得概率为 试题解析：（1）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人，所以该校高 一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为 人． （2）设“至少有 1 人体育成绩 在 为事件 ，记体育成绩 在 的学生为 ， 体育成绩在 的学生为 ，则从这两组学生中随机抽取 2 人，所有可能的结果 如下： 共 10 种， 而事件 所包含的结果有 共 7 种， 因此事件 发生的概率为 ． 考点：古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序” 区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题 目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 20. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 5. （1）求该抛物线 的方程； （2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断 直线 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1） .（2） 【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于 p 的等式求 p,则抛物线方 程可求; (2)由(1)求出M 的坐标,设出直线DE 的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为 关于 y 的一元二次方程后 D,E 两点纵坐标的和与积,利用 得到 t 与 m 的关系, 进一步得到 DE 方程,由直线系方程可得直线 DE 所过定点. 试题解析： （1）由题意设抛物线方程为 ， 其准线方程为 ， ∵ 到焦点的距离等于 到其准线的距离， ∴ ，∴ . ∴抛物线 的方程为 . （2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为： ， 联立 ，得 ， 则 ①. 设 ，则 . ∵ 即 ，得： ， ∴ ，即 或 ， 代人①式检验均满足 ， ∴直线 的方程为： 或 . ∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）. 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、 抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与 距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题， 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 21. 已知函数 在 处取得极小值. （1）求实数 的值； （2）当 时，求证 . 【答案】（1） .（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求出 的导数, ,可得 a 的值; (2)求出 的解析式,令 ,求得导数,令 ,进而得到 的单调性,即有 的最小值,即可得证. 试题解析： （1）因为 ， 所以 ， 因为函数 在 处取得极小值， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 当 时， ，当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 在 处取得极小值，符合题意. 所以 . （2）由（1）知 ，∴ . 令 ，即 . ，由 得 . 由 得 ，由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴所以 在 上最小值为 . 于是在 上，都有 . ∴ 得证. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点 为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 的极坐标方程为 . （1）把曲线 的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程； （2）若曲线 ， 相交于 两点， 的中点为 ，过点 做曲线 的垂线交曲线 于 两点，求 . 【答案】（1） , .（2）16 【解析】试题分析：（1）先根据代入消元法将曲线 的参数方程化为普通方程，利用 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先联立 与 方程, 根据韦达定理以及中点坐标公式求 ,设直线EF参数方程,与 方程联立,利用韦达定理以及 参数几何意义得 . 试题解析：（1）曲线 的参数方程为 （其中为参数），消去参数可得 . 曲线 的极坐标方程为 ，展开为 ，化为 .. （2）设 ，且中点为 ， 联立 ， 解得 ， ∴ . ∴ . 线段 的中垂线的参数方程为 （为参数）， 代入 ，可得 ， ∴ ， ∴ . 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、 可负、可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| ＝|t|＝ . (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. 23. 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 . （1）解关于 的不等式 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） .（2） . 【解析】试题分析：（1）两边平方去掉绝对值,可得不等式解集（2）先确定函数 单调性,再根据单调性化简 得 ，利用一元二次不等式解得 ,即得实数 的取值范 围. 试题解析：（1） 可化为 ， ∴ ， ∴ . ∴不等式的解集为 . （2）∵ 在 上单调递増，又 ， ， ∴只需要 ， 化简为 ， ∴ ，解得 .