【物理】2019届二轮复习万有引力定律及其应用作业（全国通用） 8页

专题一　第 4 讲 万有引力定律及其应用 限时：40 分钟 一、选择题(本题共 12 小题，其中 1～8 题为单选，9～12 题为多选) 1．(2018·陕西省西交大附中高三下学期期中)如图，人造地球卫星 M、N 在同一平面内绕 地心 O 做匀速圆周运动。已知 M、N 连线与 M、O 连线间的夹角最大为 θ，则 M、N 的运动 速度大小之比等于(　A　) A． sinθ　　　 B． 1 sinθ C． tanθ　　　 D． 1 tanθ [解析]　设 M、N 卫星所在的轨道半径分别为：RM、RN，根据题意可知卫星 M、N 连线 与 M、O 连线间的夹角最大为 θ，且 MN 连线应与卫星 N 所在的轨道相切，如图所示： 根据几何关系可知：RN＝RMsinθ 根据：GMm r2 ＝mv2 r 得：vM vN＝ sinθ，故 A 正确。故选 A。 2．(2018·宁夏银川二中高三下学期模拟三试题)设想在地面上通过火箭将质量为 m 的人 造小飞船送入预定轨道，至少需要做功 W。若预定轨道半径为 R，地球半径为 r，地球表面 处的重力加速度为 g，忽略空气阻力，不考虑地球自转的影响。取地面为零势能面，则下列 说法正确的是(　D　) A．地球的质量为gR2 G B．小飞船在预定轨道的周期为 2π r3 gR2 C．小飞船在预定轨道的动能为mgR2 2r D．小飞船在预定轨道的势能为 W－mgr2 2R [解析]　根据 GMm r2 ＝mg 可知地球的质量为 M＝gr2 G ，选项 A 错误；根据 GMm R2 ＝m4π2 T2 R， 解得 T＝2π R3 GM＝2π R3 gr2，选项 B 错误；根据 GMm R2 ＝mv2 R，解得小飞船在预定轨道的动能 为 Ek＝1 2mv2＝GMm 2R ＝mgr2 2R ，选项 C 错误；小飞船在预定轨道的势能为 Ep＝W－E k＝W－ mgr2 2R ，选项 D 正确；故选 D。 3．(2018·福建省莆田市高三下学期模拟)超冷矮恒星“TRAPPIST－1”距离地球约 39 光 年，它的质量约为太阳质量的 8%。科学家发现有七个行星围绕该恒星公转，其中“d 行星” 的轨道半径约为日地距离的 2%。已知地球绕太阳的公转周期为 1 年，利用上述数据可估算 出“d 行星”绕“TRAPPIST－1”的公转周期约为(　B　) A．1 天　　　 B．4 天 C．29 天　　　 D．90 天 [解析]　根据GMm r2 ＝m4π2 T2 r 可得 T＝ 4π2r3 GM ∝ r3 M，则 Td T地＝ ( 2 100 )3(100 8 )＝ 1 100，则 Td＝ 1 100T 地＝3.65 天≈4 天。故选 B。 4．(2018·四川省凉山州高三第三次诊断试题)发射高度较高的探测卫星时，需要经过多次 变轨，如图先把卫星发射至近地轨道Ⅰ，Ⅱ、Ⅲ是两次变轨后的椭圆轨道，轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 均相切于 O 点，Q、P 分别为轨道Ⅱ、Ⅲ的远地点，则(　B　) A．卫星从地面发射到轨道Ⅰ的过程中，一直处于失重状态 B．卫星从轨道Ⅱ的 O 点运动到 Q 点的过程中，万有引力一直做负功 C．卫星在轨道Ⅱ运动的机械能大于在轨道Ⅲ运动的机械能 D．卫星在轨道Ⅰ运动的周期大于在轨道Ⅲ运动的周期 [解析]　卫星从地面发射到轨道Ⅰ的过程中，一直加速，加速度方向向上，处于超重状 态，故 A 错误；卫星从轨道Ⅱ的 O 点运动到 Q 点的过程中，万有引力与速度方向夹角为钝 角，万有引力做负功，故 B 正确；卫星从轨道Ⅱ变轨到Ⅲ的过程中，需要加速离心，机械能 变大，故 C 错误；由R31 T21＝R33 T23可知 T3>T1，故 D 错误。 5．(2018·山西省孝义市高三下学期一模理综)从 2011 年 10 月进入高度为 370km 的圆轨 道后，“天宫一号”一直在轨道上匀速运行，并完成了与三艘神舟飞船的交会对接任务。2016 年 3 月 16 日，“天宫一号”进入轨道衰减期。就在前几天“天宫一号”进入大气层……。下 列说法正确的是(　C　) A．与“天宫一号”对接时，神舟飞船的速度应大于第一宇宙速度 B．2015 年“天宫一号”的运行周期大于同步卫星运行周期 C．从 2016 年 4 月到 2018 年 2 月，“天宫一号”的速度越来越大，机械能越来越小 D．进入大气层后下落的过程中，“天宫一号”内的物体处于完全失重状态 [解析]　第一宇宙速度是卫星围绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，其轨道半径为地 球半径，而神舟飞船的轨道半径更大，故神舟飞船的线速度小于第一宇宙速度，故 A 错误； 根据 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，解得：T＝2π r3 GM，因“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的半径， 故其周期小于同步卫星的周期，故 B 错误；进入大气层，由于空气阻力的作用，“天宫一号” 的轨道半径越来越小，线速度越来越大，机械能越来越小，故 C 正确；进入大气层后，除受 重力作用外，还受空气阻力作用，其加速度小于重力加速度，故处于失重状态，而不是完全 失重状态，故 D 错误；故选 C。 6．(2018·广东省汕头市高三下学期 4 月模拟)2018 年 2 月 12 日，我国采取一箭双星方式， 成功发射了北斗三号第五、六颗组网卫星，中国北斗导航系统由 5 颗地球同步静止轨道卫星 和 30 颗中高度轨道卫星组成。已知北斗 M4 卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度为 21617km，地球半径约为 6400km，地面重力加速度 g＝9.8m/s2，则北斗 M4 卫星的加速度大 小约为(　A　) A．0.51m/s2　　　 B．0.859m/s2 C．1.25m/s2　　　 D．0.137m/s2 [解析]　在地球表面的物体：GMm R2 ＝mg 北斗 M4 卫星绕地球做匀速圆周运动时： GMm (R＋h)2 ＝ma 解得：a＝0.51m/s2。故选 A。 7．(2018·陕西省宝鸡市模拟)2018 年 1 月 12 日，我国以“一箭双星”方式成功发射第 26、第 27 颗北斗导航卫星，拉开 2018 年将发射 16 颗北斗卫星的序幕。北斗导航卫星的轨道 有三种：地球静止轨道(高度 35809km)、倾斜地球同步轨道(高度 35809km)、中圆地球轨道(高 度 21607km)，如图所示。下列说法正确的是(　D　) A．中圆轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长 B．中圆轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大 C．倾斜同步轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方 D．倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方 [解析]　中圆轨道卫星的轨道半径比地球静止同步轨道半径小，做圆周运动的周期短， 选项 A 错误；由于不知道中圆轨道卫星与静止轨道卫星的质量，无法比较二者与地球之间的 万有引力大小，选项 B 错误；地球静止轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方，选项 C 错 误；倾斜同步轨道卫星的周期与地球的自转周期相同，都是 24 小时，所以倾斜同步轨道卫星 每天在固定的时间经过同一地区的正上方，D 正确。 8．(2018·贵州省贵阳市高三 5 月模拟)2018 年 1 月 9 日 11 时 24 分，我国在太原卫星发 射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高景一号”03、04 星成功发射升空，这两颗卫星是 0.5 米级高分辨率遥感卫星，他们均在距地面高度均为 530km 的轨道上绕地球做匀速圆周运 动，以下说法正确的是(　B　) A．这两颗卫星运行速率比地球同步卫星的速率小 B．这两颗卫星的加速度比地球同步卫星的加速度大 C．这两颗卫星的动能一定比地球同步卫星的动能大 D．这两颗卫星中任意一颗一天可看见 6 次日出 [解析]　两颗卫星均在距地面高度均为 530km 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，可知高 度远小于同步卫星的高度，则由 v＝ GM r 可知，两颗卫星运行速率比地球同步卫星的速率小； 由 a＝GM r2 可知，加速度比地球同步卫星的加速度大，选项 B 正确，A 错误；两颗卫星与同步 卫星的质量关系不确定，则无法比较动能关系，选项 C 错误；根据开普勒第三定律r3 T2＝k， 知两颗卫星轨道半径与同步卫星的轨道半径之比约为(6400＋530)∶36000≈7∶36，则因同步 卫星的周期为 24 小时，则此周期为 0.0875×24h≈2h，所以卫星的运行周期是地球自转周期 的 1/12 倍，因此卫星中的宇航员一天内可看到 12 次日出，故 D 错误。故选 B。 9．(2018·东北三省四市高三第二次联合模拟)2017 年 4 月 20 日，中国第一艘货运飞船“天 舟一号”发射升空，并与在轨运行的“天宫二号”成功交会对接，开展了一系列任务，验证 了空间站货物补给、推进剂在轨补加等关键技术。设地球半径为 R，地球表面的重力加速度 为 g，两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度为 kR，运行周期为 T。 则下列说法正确的是(　AC　) A．对接前，“天舟一号”可以先到达比“天宫二号”的轨道半径小的轨道然后加速对 接 B．对接前，“天舟一号”可以先到达与“天宫二号”的轨道半径相同的轨道然后加速 对接 C．对接后，飞船的加速度大小为 a＝ g (1＋k)2 D．对接后，飞船的速度大小为 v＝2πkR T [解析]　对接前，“天舟一号”在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要 的向心力，做近心运动，轨道半径变小，即可以先到达比“天宫二号”的轨道半径小的轨道 然后加速对接，故 A 正确，B 错误；在地球表面附近，根据重力等于万有引力 mg＝GMm R2 ， 得 GM＝gR2，对接后，轨道半径 r＝R＋kR＝(1＋k)R，根据万有引力提供向心力，有 GMm1 r2 ＝ m1a，得 a＝GM r2 ＝ gR2 (1＋k)2R2 ＝ g (1＋k)2 ，故 C 正确；对接后，飞船的线速度 v＝2πr T ＝2π(1＋k)R T ＝2πR(1＋k) T ，故 D 错误。 10．(2017·江西省新余市二模)18 世纪，数学家莫佩尔蒂，哲学家伏尔泰曾经设想“穿透” 地球；假设能够沿着地球两极连线开凿一条沿着地轴的隧道贯穿地球，一个人可以从北极入 口由静止自由落入隧道中，忽略一切阻力，此人可以从南极出口飞出，(已知此人的质量 m＝ 50kg；地球表面处重力加速度取 g＝10m/s2；地球半径 R＝6.4×106m；假设地球可视为质量 分布均匀的球体。均匀球壳对壳内任一点的质点合引力为零)则以下说法正确的是(　BD　) A．人与地球构成的系统，由于重力发生变化，故机械能不守恒 B．人在下落过程中，受到的万有引力与到地心的距离成正比 C．人从北极开始下落，到刚好经过地心的过程，万有引力对人做功 W＝3.2×109J D．当人下落经过距地心 1 2R 瞬间，人的瞬时速度大小为 4 3×103m/s [解析]　人与地球构成的系统，由于只有重力做功，故系统机械能守恒，故 A 错误；与 球心的距离为 r 时，万有引力为：F＝GM′m r2 ＝G ρ × 4 3πr3·m r2 ＝4Gπρm 3 r∝r；故 B 正确；人 从北极开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对人做功： W＝F·R 其中：F＝F 2＝1 2mg 联立解得： W＝1 2mgR＝1 2×50×10×6.4×106＝1.6×109J，故 C 错误；人从下落到距地心R 2过程，万 有引力的平均值为：F＝ mg＋1 2mg 2 ＝3 4×50×10N＝375N 根据动能定理，有：F·R 2＝1 2mv2 解得：v＝ F·R m ＝ 375 × 6.4 × 106 50 ＝4 3×103m/s 故 D 正确。故选：BD。 11．(2018·广东省梅州市高三下学期二模)P1、P2 为相距遥远的两颗行星，距各自表面相 同高度处各有一颗卫星 S1、S2，做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体 的引力产生的加速度 a，横坐标表示物体到行星中心的距离 r 的平方，两条曲线分别表示 P1、 P2 周围的 a 与 r2 的反比关系，它们左端点横坐标相同。则(　ABC　) A．P1 的平均密度比 P2 的大 B．P1 的“第一宇宙速度”比 P2 的大 C．S1 的向心加速度比 S2 的大 D．S1 的公转周期比 S2 的大 [解析]　根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：a＝GM r2 ， 两曲线左端点横坐标相同，所以 P1、P2 的半径相等，结合 a 与 r2 的反比关系函数图象得出 P1 的质量大于 P2 的质量，根据 ρ＝ M 4πR3 3 ，所以 P1 的平均密度比 P2 的大，故 A 正确；第一宇宙 速度 v＝ GM R ，所以 P1 的“第一宇宙速度”比 P2 的大，故 B 正确；S1、S2 的轨道半径相等， 根据 a＝GM r2 ，所以 S1 的向心加速度比 S2 的大，故 C 正确；根据万有引力提供向心力得出周 期表达式 T＝2π r3 GM，所以 S1 的公转周期比 S2 的小，故 D 错误；故选 ABC。 12．(2018·河南省郑州市高三下学期模拟)在地球大气层外有大量的太空垃圾。在太阳活 动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被 大气包围，从而逐渐降低轨道。大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太 空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害。以下关于太空垃圾正确的说法是(　BD　) A．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致轨道降低 B．太空垃圾在与大气摩擦过程中机械能不断减小，进而导致轨道降低 C．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，由于与大气的摩擦，速度不断减小 D．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小 [解析]　原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾所受万有引力恰好提供向心力，但在大 气包围中会与大气摩擦使机械能不断减小，使所受万有引力大于所需向心力，进而做向心运 动，导致轨道降低，故 A 项错，B 项正确；太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，根据 v＝ GM r 得速度增大，故 C 项错；由万有引力提供向心力及万有引力公式可知，太空垃圾在轨道缓慢 降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小，故 D 项正确。 二、计算题(本题共 1 小题，需写出完整的解题步骤) 13．(2018·天津市高考压轴卷)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具 有内在的一致性。 (1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同 的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质 量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0。 a．若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 F1/F0 的表达式，并就 h＝ 1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值 F2/F0 的表达式。 (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 Rs 和地球的半径 R 三者均减小为 现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实 地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ [解析]　(1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是 F0＝GMm R2 ① F1＝G Mm (R＋h)2 ② 由公式①②可以得出： F1 F0＝( R R＋h)2＝0.98 F2＝GMm R2 －mω2R＝GMm R2 －m4π2 T2 R ③ 由①和③可得：F2 F0＝1－4π2R3 T2GM (2)根据万有引力定律，有 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 得 T＝ 4π2r3 GM 又因为 M＝ρV＝ρ·4 3πR3s，解得 T＝ 3π Gρ· r3 R3s 从上式可知，当太阳半径减小为现在的 1.0%时，地球公转周期不变。