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- 2021-04-14 发布
大庆铁人中学2019-2020学年高 二 学年 上 学期 期中 考试
数学试题（理）
本试卷满分150分，答题时长120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1.已知命题；命题若，则.则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量.则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.宋元时期数学著作中有关于“松竹并生”问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长. 如图是其思想的一个程序框图，输入的分别为，则输出的（ ）
A. B. C. D.
4.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）
A. B. C. D.
5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数
的取值范围为（ ）
（3题图）
A. B. C. D.
6.用秦九韶算法计算函数当时的值，则（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
7.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B. 若，则
C.若，则 D. 若则
8.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9．已知空间四边形中，，，.点在上，且，点为重心，则等于（ ）
A. B.
C. D.
10.下列选项中，说法正确的是（ ）
A.命题“”的否定为“”
B.命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题
C.若非零向量、满足，则与共线
D.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充要条件
11.已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线准线的距离为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
12.设是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13.将二进制数转化为八进制数为___________.
14．下列命题中，不正确的是___________.
（1）已知,则是成等差数列的必要不充分条件；
（2）是或的充分不必要条件；（3）若，，则；
（4）若为真命题，则与至少有一个为真命题.
15.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的取值范围为___________.
16．已知为坐标原点，椭圆方程为.以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线与圆在轴上方的部分和椭圆在轴上方的部分分别交于、两点，则面积的最大值为____________．
三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.已知；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知双曲线，为上任意一点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点，求的最小值.
19．如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是边的中点，且.
（1）求证:；
（19题图）
（2）求点到平面的距离.
20．已知椭圆，以椭圆短轴的一个顶点与两个焦点,为顶点的三角形周长是，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点作曲线的弦恰好被点平分，求弦所在直线方程.
21．如图，在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在上，且．判断直线是否在
（21题图）
平面内，说明理由．
22.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为4的等边三角形．
（1）求的方程；
（2）过点作抛物线互相垂直的两条弦、，求四边形面积的取值范围.
大庆铁人中学2018级高二·上学期期中考试答案
数学试题（理）
一．选择题（60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
C
D
C
D
A
A
C
D
B
二．填空题（20分）
13. 14. (1)(3)(4)
15. 16.
三．解答题（70分）
17.（10分）
【详解】
记
，
因为是的充分不必要条件
所以（检验：当时，，满足题意）
故所求的的取值范围是.
18．（12分）（1）（2）
【详解】（1）渐近线：，设，
到两条渐近线的距离乘积
（2），又
当时，
19. （12分）
（1）连接,设,连接.因为,所以四边形是正方形，
所以是的中点，又因为D是BC中点，
所以.因为,
所以.
（2）由为正三角形，,所以,
,所以
又根据勾股定理得
所以
设点到平面的距离为，由,得
即点到平面的距离为.
20．（12分）
（1）；（2）
【详解】（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2为顶点的三角形周长是4+2，且∠BF1F2=．∴2a+2c=4+2，，∴a=2，c=∴
∴椭圆方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，）引曲线C的弦AB不被点Q平分；
当直线l的斜率为k时，l：y-=k（x-1）与椭圆方程联立，
消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0，设
∵过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，∴，
∴解得．
∵∴点Q在椭圆内∴直线l：，即l：．
∴弦所在的直线方程为
21. （12分）
【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．
又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．
（2）过A作AD的垂线交BC于点M．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．
所以．
所以.
设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则
即
令z=1，则．
于是．
又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.
由题知，二面角F−AE−P正弦值为.
（3）直线AG在平面AEF内．
因为点G在PB上，且，
所以.
由（2）知，平面AEF的法向量.
所以.
所以直线AG在平面AEF内.
22．（12分）
（1）；（2）.
【详解】
（1）由是边长为4的等边三角形，得，
又由抛物线的定义可得.
设准线与轴交于，则，从而
在中，，即.
所以抛物线的方程为.
（2）依题意可知，两条直线的斜率存在且均不为0，故设方程为：，
联立消去可得，.
设，则.
所以
；
同理得；
四边形ADBE的面积
由，当且仅当，即时等号成立，
所以四边形ADBE面积的最小值为32，
所以四边形ADBE面积的取值范围为.