2018届二轮复习数列的综合应用课件（全国通用） 34页

第 2 讲　数列的综合应用 高考定位 　 高考对本内容的考查主要有： (1) 通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题； (2) 求数列的通项公式及其前 n 项和的基本的几种方法； (3) 数列与函数、不等式的综合问题 . 题型一般为解答题，且为压轴题 . 真 题 感 悟 考 点 整 合 1. 数列求和的常用方法 (1) 公式法：直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解 . (2) 倒序相加法：适用于与首、末等距离的两项之和等于首、末两项之和，且和为常数的数列 . 等差数列前 n 项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前 n 项和时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以得到一个常数列，或者等差数列、等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现 . (5) 拆项分组法：把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ) ，再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列，最后分别求和 . (6) 并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项 ( 或多项 ) 组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论 . 热点一　有关数列中计算的综合问题 【例 1 】 (2011· 江苏卷 ) 设 M 为部分正整数组成的集合，数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 1 ，前 n 项的和为 S n ，已知对任意的整数 k ∈ M ，当整数 n ＞ k 时， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2( S n ＋ S k ) 都成立 . (1) 设 M ＝ {1} ， a 2 ＝ 2 ，求 a 5 的值； (2) 设 M ＝ {3 ， 4} ，求数列 { a n } 的通项公式 . 解　 (1) 由题设知，当 n ≥ 2 时， S n ＋ 1 ＋ S n － 1 ＝ 2( S n ＋ S 1 ) ，即 ( S n ＋ 1 － S n ) － ( S n － S n － 1 ) ＝ 2 S 1 ，从而 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a 1 ＝ 2. 又 a 2 ＝ 2 ，故当 n ≥ 2 时， a n ＝ a 2 ＋ 2( n － 2) ＝ 2 n － 2. 所以 a 5 的值为 8. (2) 由题设知，当 k ∈ M ＝ {3 ， 4} 且 n ＞ k 时， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n ＋ 2 S k 且 S n ＋ 1 ＋ k ＋ S n ＋ 1 － k ＝ 2 S n ＋ 1 ＋ 2 S k ，两式相减得 a n ＋ 1 ＋ k ＋ a n ＋ 1 － k ＝ 2 a n ＋ 1 ，即 a n ＋ 1 ＋ k － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＋ 1 － k ，所以当 n ≥ 8 时， a n － 6 ， a n － 3 ， a n ， a n ＋ 3 ， a n ＋ 6 成等差数列，且 a n － 6 ， a n － 2 ， a n ＋ 2 ， a n ＋ 6 也成等差数列 . 从而当 n ≥ 8 时， 2 a n ＝ a n ＋ 3 ＋ a n － 3 ＝ a n ＋ 6 ＋ a n － 6 ， (*) 且 a n ＋ 6 ＋ a n － 6 ＝ a n ＋ 2 ＋ a n － 2 . 所以当 n ≥ 8 时， 2 a n ＝ a n ＋ 2 ＋ a n － 2 ，即 a n ＋ 2 － a n ＝ a n － a n － 2 . 于是当 n ≥ 9 时， a n － 3 ， a n － 1 ， a n ＋ 1 ， a n ＋ 3 成等差数列，从而 a n ＋ 3 ＋ a n － 3 ＝ a n ＋ 1 ＋ a n － 1 ，故由 (*) 式知 2 a n ＝ a n ＋ 1 ＋ a n － 1 ，即 a n ＋ 1 － a n ＝ a n － a n － 1 . 当 n ≥ 9 时，设 d ＝ a n － a n － 1 . 探究提高 　 此类问题看似简单，实际复杂，思维量和计算量较大，难度较高 . 热点二　有关数列中证明的综合问题 探究提高 　 不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法 . 【训练 2 】 (2014· 江苏卷 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若对任意的正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 S n ＝ a m ，则称 { a n } 是 “ H 数列 ”. (1) 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2 n ( n ∈ N * ) ，证明： { a n } 是 “ H 数列 ” ； (2) 设 { a n } 是等差数列，其首项 a 1 ＝ 1 ，公差 d ＜ 0. 若 { a n } 是 “ H 数列 ” ，求 d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 { a n } ，总存在两个 “ H 数列 ” { b n } 和 { c n } ，使得 a n ＝ b n ＋ c n ( n ∈ N * ) 成立 . 热点三　数列中的探索性问题 探究提高 　 数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法 . 另外探索充要条件要从充分性、必要性两个方面判断与寻找 . 1. 数列与不等式综合问题 (1) 如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用； (2) 如果是解不等式，注意因式分解的应用 . 2. 数列与函数的综合问题 (1) 函数条件的转化：直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量 x 换为 n 即可 . (2) 数列向函数的转化：可将数列中的问题转化为函数问题，但要注意函数定义域 . 3. 数列中的探索性问题 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理 . 若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用 . 还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解 .