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- 2021-04-14 发布
湖南省衡阳县2018届高三12月联考
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A． B．（0，4） C． D．
2.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
3.在等比数列中，，则 （ ）
A． B． C. D．
4.已知向量，其中，若与共线，则的最小值为（ ）
A． B．2 C. D．4
5.若函数的定义域与值域相同，则（ ）
A．-1 B．1 C. 0 D．
6.函数在上的图象为（ ）
7.若，则 （ ）
A． B． C. 2或3 D．-2或-3
8.已知，则（ ）
A． B． C. D．
9.某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据：）
A．2022年 B．2023年 C.2024年 D．2025年
10. 如图，函数的图象与轴转成一个山峰形状的图形，设该图形夹在两条直线之间的部分的面积为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C.的极大值为 D．在[-2，2]上的最大值与最小值之差为
11.在数列中，，且，记，则（ ）
A．能被41整除 B．能被43整除 C.能被51整除 D．能被57整除
12.已知函数，若恰好存在3个整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为 （ ）
A．34 B．33 C. 32 D．25
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数的周期为4，当时，，则 ．
14.在边长为6的正△中，边上的一点，且，则 ．
15.若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和 ．
16.已知函数，当对恒成立时，的最大值为，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.
(1)求在上的单调递减区间；
（2）设函数，求的最小值.
18. 在△中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）设为边上一点，且，若△的面积为24，坟线段的长.
19. 已知正项等比数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20. 已知向量，其中，且
（1）若向量在向量方向上的投影不小于，求正数的最小值；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围.
21. 已知函数
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
22.已知函数
（1）若直线与曲线都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个平行四边形，并计算该平行四边形的面积；
（2）设函数在[1，2]上的值域为，求的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:CDACB 6-10:BCACD 11、12：AB
二、填空题
13.2 14.-24 15. 16.-7
三、解答题
17.解：（1）由题意可得
∵，∴
当，即，单调递减；
当，即，单调递减；
故的单调递减区间为，.
（2）
则的最小值为.
18.解：（1）∵，∴，
∵
∵，∴.
（2） ∵，∴为锐角，
又
∴，则△的面积为
∴又
∴
19. 解：（1）当时，
∴，∵
又∵也满足，
∴
（2） ，设数列的的前项和，
则
∴
∴
即
故∴
20. 解：（1）向量在向量方向上的投影
∵，∴∵，
即正数的最小值为；
（2） ，
∴，令，
在上递增，
∴，即，∴
21.解：（1）当时，
故曲线在原点处的切线方程为.
（2）
当时，若，则在（0，1）上递增，从而
若令，当时，
当时，，，则不合题意，
故的取值范围为
22.（1）证明：令得
令得；令
∴的极大值为，极小值为.
∵,令或3；
令
∴这四个交点分别为（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）
∵3-0=2-（-1）=3
∴这四个交点可以构成一个平等四边形，且其面积为
（2） 解：因为
所以
令，得或，
①当时，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又因为，所以
所以
因为
所以在上单调递减，所以当时，的最小值为
②当时，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又因为，所以
所以
因为
所以在上单调递增，所以当时，
③当时，
当时，，所以在上单调递减；
所以
所以
因为
所以在上的最小值为
综上，的最小值为