青海省西宁市第十四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 9页

西宁十四中高二理科期末考试卷 出题： 审题：‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．设是不同的直线，是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 ‎4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的等于 A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎5．在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数y＝的图象大致为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎11．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎14．三棱锥的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，，球O的体积为______．‎ ‎15．如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．‎ ‎16．给出下列说法 ‎①函数与函数互为反函数；‎ ‎②若集合中只有一个元素，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④函数的单调减区间是；‎ 其中所有正确的序号是___________ .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题10分）已知数列为等差数列，，.‎ ‎（1） 求数列的通项公式;‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎18．（本小题12分）在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的最大值.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;‎ ‎（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎20．（本小题12分）已知抛物线C；过点．‎ 求抛物线C的方程；‎ 过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．‎ ‎21．（本小题12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值．‎ ‎22．（本小题12分）已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ 高二期末理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 A C A B C D 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B D C A 二、 填空题 ‎13．-2 14． 15． 16．①④.‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】 (1)设数列的公差为，依题意得方程组解得.‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎  ‎ ‚ －‚得 所以. ‎ ‎18．（1）；（2）.‎ ‎【详解】（1）由得：，‎ 即：.‎ ‎∴，又，∴.‎ ‎（2）由，当且仅当等号成立.‎ 得：.‎ ‎.‎ ‎19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由已知得.‎ 取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且 ‎.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎，，.‎ 设为平面的一个法向量，则 即 可取.‎ 于是.‎ ‎20．（1）．（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，所以抛物线方程为． ‎ ‎（2）设，，直线MN的方程为，‎ 代入抛物线方程得． ‎ 所以，，． ‎ 所以,‎ 所以，是定值．‎ ‎21．（1）见解析（2）0‎ ‎【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，且，所以为等边三角形．如下图，作，则E为AD的中点．‎ 又因为为等边三角形，所以．‎ 因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线平面PBE，‎ 又因为PB为面PBE内的直线，所以．‎ ‎（2）为等边三角形，边长为2，‎ ‎，所以，，‎ 因为，‎ 所以面，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，即，即，‎ 取，则，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，即，即，‎ 取，则，，‎ 因为， ‎ 设二面角的平面角为，则有.‎ ‎22．(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得 .‎ 因为 ，‎ 所以.‎ 设，，‎ 根据根与系数的关系得，.‎ 则 .‎ 因为，即 .‎ 整理得.‎ 令，则.‎ 所以 .‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎