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- 2021-04-14 发布
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绵阳南山中学实验学校高2017级五月月考试题
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数的虚部小于0，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
4.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）
A．回答该问卷的总人数不可能是100个
B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少
D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
5．已知非零向量满足且，则的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的一个极大值点为，则（ ）
A．0 B． C． D．
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的首项为2，前3项和，则其公比等于（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．1或-2
9.已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（ ）．
A． B． C． D．
10.已知点是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上，且，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11.设，，则（ ）
A． B．
C． D．
12.已知四面体ABCD， ，ABC为边长为的等边三角形，若顶点 A在平面BCD的投影是BCD垂心，则四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.的展开式中的系数为________.
14.若数列为等差数列，且，则的值等于 ________．.
15.已知正方体，若在存在点使直线两两所成的角都为，则__________．
16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分12分）新型冠状病毒肺炎正在全球蔓延，对世界经济影响严重，中国疫情防控，复工复学恢复经济成为各国的榜样，绵阳某商场在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.
（1）试求选出的3种商品至少有2种服装商品的概率；
（2）商场对选的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高300元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金，假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？
18（本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°.
（1）若a=2b，求tanA的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1，求△ABC的面积的最小值.
19 （本小题满分12分）三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，
求证：点在定圆上.
21. （本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的标准方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求直线l和圆C的极坐标方程；
若射线与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．
23.已知，，.
（1）求证：； （2）若，求证：.
绵阳南山中学实验学校高2017级五月月考试题
理科数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
D
A
B
D
D
A
D
A
B
13．-56 14. 15. 16.
17. ，中奖的个数，，设每次奖金金额为，则解得
商场应将中奖奖金数额最高定为200元
18.
（1）解法一 由a=2b及正弦定理知，，则，则，得
解法二 ∵，
∴ 则，∴，∴.
（2）由题意知，∴，则，由，得，则，当且仅当a=b时等号成立.
19.（1）连接，底面，底面，
，且与底面所成的角为，即.
在等边△ABC中，易求得. 在△AOD中，由余弦定理，得
，.
又
又，平面，
又平面，，又，平面.
（2）如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则
由（1）可知
可得点的坐标为，平面的一个法向量是.
设平面的法向量，由
得令则则，
易知所求的二面角为钝二面角 ，二面角的平面角的余弦角值是.
20.（1）设焦距为，由已知，，∴，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设，联立得，
依题意，，化简得，①
，，
若，则， 即，
∴，
∴，
即，化简得，②
由①②得.
∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）
21.解：（1），，
①当时，因为，所以在上单调递减，
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因为，等号仅在，时成立，
所以在上单调递增，
（2），当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以．
当时，因为，所以，所以，
令，，已知化为在上恒成立，
因为，令，，则，
在上单调递减，又因为，，
所以存在使得，
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减；
所以，
因为，所以，所以，
所以的最小整数值为．
22．解：直线l的参数方程为为参数，
在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为，
将，代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为．圆C的标准方程为，圆C的极坐标方程为．
在极坐标系中，由已知可设，，
联立，得，
．点M恰好为AB的中点，，即
把代入，得，解得．
23.证明：（1）由条件，有，所以，即，
所以.
（2）因为，所以，要证，
只需证（*），只需证
因为，所以，即（*）式成立，
故原不等式成立.