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- 2021-04-14 发布
理数
试题总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题(60分，每题5分)
1．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
4．已知，则a，b，c的大小关系（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，若角的终边经过，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．若：，.则：，.
C．若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题
D．“”是“”的充分不必要条件
9．已知函数，则的大致图像为( )
A． B．
C． D．
10．将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上的最小值为
D．是函数的一条对称轴
11．若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4道小题，每题5分，满分20分）
13．已知，则______________
14．已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是______________(判断三角形形状)
15．已知集合，且，则实数m的取值范围是______．
16．平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
三、解答题（共6道大题，满分70分）
17．(10分)
已知命题p：∃x∈（-1，1），使成立，命题q：关于x的方程的一个根大于1，另一个根小于1．
（1）分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．
18．（12分）．
在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.
（I）求角；
（Ⅱ）若，，，求的长，
19、（12分）．
在中，内角对边的边长分别是，已知，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）设函数，求的对称中心和单调减区间.
20、（12分）．
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围.
21、（12分）．
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
22、（12分）．
已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）证明：当时，.
理科数学答案
一、选择题
1．C2．C3．B4．D5．D6．C7．C8．C9．D10．C11．A
【详解】
因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.
又时，，所以函数的图象如图所示.
再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点
12．D【详解】
由题得，所以
设（x＞0）所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递减.
因为g(1)=ln1f(1)=0,所以在（0,1）上g(x)＞0，因为此时lnx＜0，所以f(x)＜0，
因为在（1，+∞）上g(x)＜0，因为此时lnx＞0，所以f(x)＜0.
所以函数f(x)在（0,1）和（1，+∞）上，f(x)＜0.
因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-∞，-1）上，f(x)＞0.
所以等价于.
二、填空题
13．． 14．直角三角形 15． 16．(改编题必修四12页)
【详解】解：由题意知：，，由，得，
，故答案为：.
三、解答题
17．解：（1）命题p为真时，方程在（-1，1）有解，
当x∈（-1，1）时，，则，
当命题q为真时，满足，
即2m-2＜0，所以m＜1．
（2）若命题p为真，同时命题q为假，
则得1≤m＜2．
若命题p为假，同时命题q为真，
则，得．
所以当命题p与命题q一真一假时，1≤m＜2或．
18．解：（I）由，得，
，
，∵，∴，∴.
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得，所以，
在中，， ，由正弦定理，得，
所以.
19．解： (Ⅰ)由题意结合余弦定理可得： ①，
，由正弦定理化简得： ②，
∴联立①②解得：a=3，b=2.
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有：
，
则函数的对称中心横坐标满足：.
函数的对称中心为： ，
函数的单调递减区间满足：，
即函数的单调递减区间为.
20．解：（1） ，
当时，，所以，即.
所以 ，所以
故原不等式的解集为.
（2）当时，，
当时，则，所以.
当时，，所以，所以；
当时，，所以，所以.
综上，或.
21解：（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知：
当时，，∴成立.
当时， ，
，∴.
当时，
，
，∴，即.
综上.
22．解：（1）因为，函数在点处的切线方程的斜率为，所以，解得.
又，所以，解得.
（2）由（1）得.
设，则.
令，，则.
所以当时，，故在上单调递增.
又，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得最小值.
所以，即.