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- 2021-04-14 发布
2018年1月高考适应性调研考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.等比数列中，，是函数的两个零点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.下列命题中正确的个数是（ ）
①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③若为假命题，则，均为假命题；
④若命题：，，则：，；
A． B． C． D．
5.设，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
7.若执行下图所示的程序，输出的结果为，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． B． C. D．
8.已知，是上的两个随机数，则点到坐标原点的距离大于的概率为（ ）
A． B． C. D．
9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（ ）
A．项 B．项 C.项 D．项
10.已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ）
A． B． C. D．
11.在中，，的内角平分线将分成，两段，若向量（），则（ ）
A． B． C. D．
12.已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等差数列的前项和为，若，，则的公差为 ．
14.直线（，）平分圆的面积，则的最小值为 ．
15.已知点是双曲线（，）右支上一点，，分别是双曲线的左，右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为 ．
16.在中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点，…，，分别是线段，（，）的中点，设数列，满足：向量，有下列四个命题：
①数列是单调递增数列，数列是单调递减数列；
②数列是等比数列；
③数列有最小值，无最大值；
④若中，，，则最小时，
其中真命题是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.
18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，是以为底的等腰三角形.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积等于，问：是否存在过点的平面分别交，于点，，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.
19. 近年来随着素质教育的不断推进，高考改革趋势明显.国家教育部先后出台了有关高考的《学业水平考试》、《综合素质评价》、《加分项目瘦身与自主招生》三个重磅文件，引起社会极大关注，有人说：男孩苦，女孩乐！为了了解某地区学生和包括老师，家长在内的社会人士对高考改革的看法，某媒体在该地区选择了人，，就是否“赞同改革”进行调查，调查统计的结果如下表：
赞同
不赞同
无所谓
在校学生
社会人士
已知在全体样本中随机抽取人，抽到持“不赞同”态度的人的概率为.
（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈，文应该在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（2）在持“不赞同”态度的人中，用分层抽样方法抽取人，若从人中任抽人进一步深入调查，为更多了解学生的意愿，要求在校学生人数不少于社会人士人士，求恰好抽到两名在校学生的概率.
20. 已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21. 已知函数，，且曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（3）证明：当时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：上.
（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知，，，函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.
2018年1月高考适应性调研考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABDCA 6-10:DCBBC 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.①②④
三、解答题
17.解：(1) 在中，由，
又
又
（2）在中， 由余弦定理可得
又
为等腰直角三角形
当时，四边形面积有最大值，最大值为
18.解：（1）证明: 取中点为，在中
为正三角形，
又，平面
平面，且平面，
（2）存在平面，使得平面∥平面，为的中点，如图
在中，且，
又，，
在梯形中，且， 且，
又，，
又， 平面∥平面
由（1）可知，侧面底面交于，
在梯形中，由条件可得
，
在中，，， 为中点，
为正三角形，，
在中， ， ，
19.解：（1）∵抽到持“不赞同”态度的人的概率为
∴，解得
∴持“无所谓”态度的人数共有
∴应在“无所谓”态度的人中抽取人
（2）由(1)知持“不赞同”态度的一共有人
∴在所抽取的人中，在校学生为人，
社会人士为人
记抽取的名在校学生依次为，名社会人士依次为，
“在校学生人数不少于社会人士人数”包含基本事件为:，
，，，，，
，，，，，
，，共个，
记“恰好抽到两名学生”为事件，事件包含个基本事件，
∴所求事件的概率为：
20.解：（1）将点代入可得
抛物线的焦点为，
椭圆中又点在椭圆上，，
解得椭圆：
（2）当直线的斜率不存在时，关于轴对称，为的重心
为椭圆长轴顶点，，到的距离为
当直线的斜率存在时，设直线：，联立方程
，消得有两不等实根
设，，
又为的重心， ，
又点在椭圆上，，得
到的距离为
的面积为定值
21.解：（1）由题设得，
∴，
解得，．
（2）由（1）知，，令函数，
∴，
令函数，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，
所以，存在，使得，
当时，；当，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调增．
又，∴，当且仅当时取等号．
故：当时，，
22．解：（1）设点的坐标为，则有
消去参数，可得，为点的轨迹的方程；
由曲线：，得，且，
由，故曲线的方程为：；
（2）曲线的方程为：，即
表示过点，斜率为的直线，
动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆
由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．
（或圆心到直线的距离小于半径和去求）
23. 解：（1）
或或，
解得或.
（2）
．
当且仅当时取得最小值．