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- 2021-04-14 发布
兰州一中2018--2019--2高二期末考试
文科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知两向量＝(4，－3)，＝(－5，－12)，则在方向上的投影为( )
A．(－1，－15) B．(－20,36) C． D．
3.已知，，，则的大小关系为 （ ）
A. B.
C. D.
4设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(第7题) (第8题)
8． 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ( )
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9.若实数满足约束条件，则的最大值是 （ ）
A. B. 1 C. 10 D. 12
10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （ ）
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.
11.知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( )
A．36π B．16π C．12π D.π
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所正确结论的序号是 ( )
A.① B. ② C. ①② D . ①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在0，2π]的零点个数为 .
14．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 .
15.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则 .
16.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知函数的定义域为；求实数的取值范围.
18．（12分）已知公差不为零的等差数列 的前4项和为10，且成等比数列．
（1）求通项公式；（2）设,求数列的前项和．
19.（12分）某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生,在申请的材料中提交了某学科次的考试成绩,记录如下:
甲:,,,,,,,,, 乙:,,,,,,,,,
(1)根据两组数据,作出两人成绩的茎叶图,并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系(不要求就算具体值,直接写出结论即可).
(2)现将两人的名次分为三个等级:根据所给数据,从甲、乙获得“优秀”的称呼组合中随机选取一组,求选中甲同学成绩高于乙同学成绩的组合的概率.
20．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，是四棱锥的高，与平面所成角为，是的中点，是上的动点． （第20 题）
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若是上的中点，求AE与平面PBC的所成角的正切值.
21.（12分）在平面直角坐标系中,已知圆经过点,,且圆心在直线.
(1)求圆的方程;
(2)设是圆上任意一点,过点作圆的两条切线,,,为切点,试求四边形面积的最小值.
22.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，．
（1）求的值； （2）求函数的值域．
兰州一中2018--2019--2高二期末考试
文科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合， ，则（ D ）
A． B． C． D．
2.已知两向量＝(4，－3)，＝(－5，－12)，则在方向上的投影为( c)
A．(－1，－15) B．(－20,36) C． D．
3.已知，，，则的大小关系为 （A ）
A. B.
C. D.
4设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ C ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ D ）
A. B.
C. D.
6.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (c)
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(第7题) (第8题)
8． 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 (B)
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9.若实数满足约束条件，则的最大值是 （ C ）
A. B. 1 C. 10 D. 12
10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （ D）
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.
11.知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为，则球O的表面积为( B )
A．36π B．16π C．12π D.π
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所正确结论的序号是 (C)
A.① B. ② C. ①② D . ①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在0，2π]的零点个数为 3 .
14．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 锐角三角形 .
15.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则 .
16.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 162 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（10分）已知函数的定义域为；求实数的取值范围.
解：由题意可知恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为.
18．（12分）已知公差不为零的等差数列 的前4项和为10，且成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）设,求数列的前项和．
解：（1）由题意知
解得 所以an=3n－5.
（2）∵
∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，
所以.
19.（12分）某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生,在申请的材料中提交了某学科次的考试成绩,记录如下:
甲:,,,,,,,,,
乙:,,,,,,,,,
(1)根据两组数据,作出两人成绩的茎叶图,并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系(不要求就算具体值,直接写出结论即可).
(2)现将两人的名次分为三个等级:
根据所给数据,从甲、乙获得“优秀”的称呼组合中随机选取一组,求选中甲同学成绩高于乙同学成绩的组合的概率.
解：(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图如图:
通过茎叶图可以看出,甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值,故甲成绩的方差小于乙成绩的方差.
(2)由表中的数据,甲优秀的数据为: ,,,,乙优秀的数据为:,,从甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件有:
,,,,,,,共种不同的取法,甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件是:,,共种不同的取法,所以,选中甲同学优秀成绩高于乙同学优秀成绩的组合的概率为.
20．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，是四棱锥的高，与平面所成角为，是的中点，是上的动点．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若是上的中点，求AE与平面PBC的所成角的正切值.
解：（1）证明：
（2）解：设正方形边长为a，连接AE,EF，由（1）知 为所求角
21.（12分）在平面直角坐标系中,已知圆经过点,,且圆心在直线.
(1)求圆的方程;
(2)设是圆上任意一点,过点作圆的两条切线,,,为切点,试求四边形面积的最小值.
解：(1)设圆的方程为,其圆心为,
∵圆经过点,,且圆心在直线上,
∴,解得.
∴所求圆的方程为;
(2)由(1)知,圆的方程为.
依题意,,
∴当最小时,最小.
∵圆,∴,半径为.
∵,∴两个圆的圆心距.
∵点在圆上,且圆的半径为,∴,
∴,
22.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．若，．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
解:（1）因为，所以，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，所以，
所以．
因为，所以，
因为
，
由于，所以，
所以的值域为.