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- 2021-04-14 发布
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题
高三理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则的值是
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的值是
A. B. C. D.
3.若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是
A. B. C. D.
4.随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量（单位：公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2020年1月1日
5000
0.125
380
2020年1月2日
5100
0.126
246
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，）
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于 B.到之间 C.等于 D.大于
5.已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是
A. B. C. D.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的的值是
A. B. C. D.
7.函数在的图像大致为
A B C D
8.在中，,是线段上一点，且则是
A. B. C. D.
8.在中，,是边上一点，则是
A. B. C. D.
9.记为等差数列的前项和.已知则
A. B. C. D.
10.设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且,的面积是7，则是
A. B. C. D.
11.如图，在直角梯形中，,过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是
①
②∥平面
③与平面所成的角等于与平面所成的角
④与所成的角等于与所成的角
A. B. C. D.
12.已知，若不等式在上有解，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.
14.若展开式中的系数为30，则________.
15.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若，则_______________．
16.已知数列满足,数列的前项和，则数列的前n项和___________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.
(1)求;
(2)若，且边上的中线长为，求的面积.
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.
（1）在棱上取一点使直线∥平面并证明；
（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为 时，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.
（1） 求椭圆的方程.
（2） 过焦点的直线与圆相切于点，交椭圆于两点，证明：.
20.（本小题满分12分）某市创卫办为了了解该市开展创卫活动的成效，对市民进行了一次创卫满意程度测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”计5分，“不合格”计0分，现随机抽取部分市民的回答问卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
（1） 求的值；
（2） 按照分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的问卷中随机抽取10份进行问题跟踪调研，现再从这10份问卷中任选4份，记所选4份问卷的量化总分为，求
的分布列及数学期望.
（1） 某评估机构以指标来评估该市创卫活动的成效.若,则认定创卫活动是有效的；否则认为创卫活动无效，应该调整创卫活动方案.在（2）的条件下，判断该市是否应该调整创卫活动方案？
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．
请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.满分10分.
选修4－4：坐标系与参数方程
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的平面直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.
23.（本小题满分10分）已知的最小值为t.
（1）求t的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试
高三理科数学参考答案与评分标准
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
D
B
C
A
D
B
A
D
A
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13.e14. 1 15.6 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，）
17.(1)由已知可得,
所以………………………………………………………………1
在中，……………………………………………………………2
所以.
因为在中，,…………………………………………………………………3
所以,…………………………………………………………………………………4
因为,…………………………………………………………………………………5
所以.………………………………………………………………………………………6
（2）由（1）得，又边上的中线长为，所以，……………7
所以，即，
所以，①……………………………………………………………………8
由余弦定理得，所以，②……………………9
由①②得：，………………………………………………………………………10
所以.……………………………………………………………12
18.（1）在上取中点，在上取中点,连接，由于平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，
所以四边形是平行四边形，
所以∥.……………2
直线，
，…………………………………………3
所以∥平面.…………………………………………………………………………4
（2）取中点，连接，由于为正三角形
∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面，连接，四边形为正方形。
∵平面，∴平面平面
而平面平面
过作，垂足为，∴平面
∴为与平面所成角，…………………………………6
∴
在中，，∴，
设，，，
∴，∴
在中，，∴
∴，，…………………………………………8
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，
，…………………………………………………9
设平面的法向量为，∴
∴法向量可取，………………………………………………………………10
而平面的法向量为……………………………………………………11
设二面角的平面角为
∴.………………………………………………12
19．（1）由椭圆性质知，，…………………………………………………………1
，…………………………………………………………………………………2
解得………………………………………………………………………………3
所以椭圆的方程为.………………………………………………………………4
（2）证明：由（1）可得的斜率存在，故的方程可设为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离，解得.………………6
当时，直线的方程为
由联立，可得，显然，
设，则.所以…………………………8
设，由可得，又，
所以.由此可得线段中点重合，故.………………10
同理当时也有.…………………………………………………………11
综上.………………………………………………………………………………12
20.（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，
故抽取的市民答卷数为：，
又由频率分布直方图可知，得分在的频率为，
所以，…………………………………………………………………………1
又，所以.……………………………………………………………2
.……………………………………………………………………………3
（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人.
所以有共种可能的取值.
的分布列为
20
15
10
5
0
，，，
，.
所以.……………………………9
（3）由（2）可得
……………………………………10
所以，…………………………………………………………11
故我们认为该市的创卫活动是有效的，不需要调整创卫活动方案.…………………………12
21．（1）的定义域为，，
，……………………………………………………………1
对于，，
当时，，则在上是增函数.………………………2
当时，对于，有，则在上是增函数.………3
当时，令，得或，
令，得，
所以在，上是增函数，
在上是减函数.………………………………………4
综上，当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，
在上是减函数.
（2）由已知可得，因为，所以，而，所以，所以，所以在上单调递增.
所以.………………………………………………………………………6
故在内有两个零点.………………………………………………7
令，定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不合题意.……………………………………………………………………………………8
当时，令得，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减，…………………9
所以，时，
取得极大值，也是最大值，为.…………10
时，，
若有两个零点，则，解得.
所以的取值范围是.……………………………………………………………12
另解：有两根，显然不是方程的根，
因此原方程可化为，
设，，由解得，
由解得，
故在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，所以.
22.【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为.
由，得，又，，
所以的直角坐标方程为..……………..5分
（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.
设点，的极坐标分别为，，则，，
所以，
所以，即，解得，
又，所以..……………..10分
23.【解析】（1），
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，∴t＝2；.……………..5分
（2）由（1）可知2a2+2b2＝2，则a2+b2＝1，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为9．.……………..10分