高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第7讲 函数的奇偶性的判断和证明 4页

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第7讲 函数的奇偶性的判断和证明 ‎【知识要点】‎ 一、函数的奇偶性的定义 对于函数，其定义域关于原点对称，如果恒有，那么函数为奇函数；如果恒有，那么函数为偶函数.‎ 二、奇偶函数的性质 ‎1、奇偶函数的定义域关于原点对称；‎ ‎2、偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称；‎ ‎3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；‎ ‎4、奇函数在原点有定义时，必有.‎ 三、判断函数的奇偶性的方法 ‎ 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个，若，则是奇函数；若，则是偶函数.‎ ‎3、作商判别法 对于函数定义域内任意一个，设，若，则是奇函数，，则是偶函数.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎【方法讲评】‎ 方法1 定义法 使用 情景 具体函数和抽象函数都适用.‎ 解题 步骤 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；‎ 最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.‎ ‎【例1】判断下列函数的奇偶性.‎ ‎（1） （2）‎ ‎【例2】 定义在实数集上的函数，对任意，有且 ①求证：　　　　　　②求证：是偶函数 ‎【例3】判断函数的奇偶性 ‎【反馈检测1】已知 ‎ ‎（1）判断的奇偶性； （2）求的值域．‎ ‎【反馈检测2】已知函数定义域为，若对于任意的，都有 ‎，且时，有.‎ ‎（1）证明函数是奇函数；（2）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（3）设，若，对所有，恒成立，‎ 求实数的取值范围.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 方法2 和差判别法 使用 情景 一般与对数函数指数函数有关.‎ 解答步骤 对于函数定义域内的任意一个，若，‎ 则是奇函数；若，则是偶函数.‎ ‎【例4】判断函数的奇偶性.‎ ‎【反馈检测3】已知函数.‎ ‎（1）求的定义域； ‎ ‎（2）判定的奇偶性；‎ ‎（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【例5】判断函数的奇偶性.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎ 方法3 作商判别法 使用 情景 一般含有指数函数运算.‎ 解答 步骤 对于函数定义域内任意一个，设，若，‎ 则是奇函数，，则是偶函数.‎ ‎【例6】 证明函数是奇函数.‎ ‎.‎ 第 4 页