- 510.00 KB
- 2021-04-14 发布
重庆市綦江中学高2020级高二（上）开学考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一．单选题（每题5分，共60分）
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A． B．
C． D．
2.已知等差数列有，，求公差是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若，则角A的度数为（ ）
A．60° B． 150° C． 30° D． 120°
4．以茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．5，2 B．5，5 C．8，5 D．8，8
5．某校从参加高二年级数学测试的学生中抽出了100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则成绩在[80,100]上的人数为 ( )
A． 70 B． 60 C． 35 D． 30
6.阅读如下图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
7．小华同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是( )km．
8.如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点O为坐标原点,A(-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知，下列不等式中恒成立的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
11.在中，角所对的边分别为，若，
，则周长的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12.
二．填空题（每题5分，共20分）
13. .已知等比数列中 ，
14．在区间内任取一个实数，使函数在上为减函数的概率=___________
15.关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是______________．
16．已知，，则的最小值 ．
三．解答题（共70分）
17.（10分）等比数列的前项和为，公比，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）分别为等差数列的第4项和第16项，求数列的通项及前项和.
18.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=，△BCD是正三角形。
（1）将四边形ABCD的面积S表示为的函数；
（2）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时的值。
19.（12分）某位同学为了研究气温对饮料销售的影响，经过对某小卖部的统计，得到一个卖出的某种饮料杯数与当天气温的对比表．他分别记录了3月21日至3月25日的白天平均气温（）与该小卖部的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
日期
3月21日
3月22日
3月23日
3月24日
3月25日
平均气温
8
10
14
11
12
销量（杯）
21
25
35
26
28
（1）若先从这五组数据中任取2组，求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出关于的线回归方程；
（3）根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月26日的白天平均气温7（），请预测该小卖部这种饮料的销量．（参考公式：）
20（12分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．
21.（12分）在中，内角所对的边分别是，已知
.
(1)求角的大小； (2)若的面积，且，求.
22．（12分）已知数列的前n项和为，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
重庆市綦江中学高2020级高二（上）开学考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每题5分，共60分）
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
2.已知等差数列有，，求公差：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．在△ABC中，若，则角A的度数为（ ）
A．60° B． 150° C． 30° D． 120°
答案：C
4．（2015•德阳模拟）以茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．5，2 B．5，5 C．8，5 D．8，8
【答案】C
5．某校从参加高二年级数学测试的学生中抽出了100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则成绩在[80,100]上的人数为 ( )
A． 70 B． 60 C． 35 D． 30
【答案】D
6.阅读如下图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】B
7．小华同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是( )km．
【答案】C
8.如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9．已知点O为坐标原点,A(-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为 C
A． B． C． D．
10．已知，下列不等式中恒成立的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
【答案】D
11.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
12.B
二．填空题（每题5分，共20分）
13.已知等比数列中 ，
【答案】
14．在区间内任取一个实数，则使函数在上为减函数的概率=___________
15.关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是______________．
【答案】(－3,0)
16．已知，，则的最小值 ．
【答案】3
三．解答题（共70分）
17.（10分）等比数列的前项和为，公比，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前
项和.
【答案】(1);(2),.
解：（1）易知,由已知得，解得.所以. 4分
（2）由（1）得，，则，,
设的公差为，则有 解得 6分
且数列的前项和 10分
18.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=，△BCD是正三角形。
（I）将四边形ABCD的面积S表示为的函数；
（II）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时的值。
【答案】解：（I）在△ABD中，，
∴，，
∴，且；
（II）∵，且
∴当时，，此时
19.（12分）某位同学为了研究气温对饮料销售的影响，经过对某小卖部的统计，得到一个卖出的某种饮料杯数与当天气温的对比表．他分别记录了3月21日至3月25日的白天平均气温（）与该小卖部的这种饮料销量（杯），得到如下数据：
日期
3月21日
3月22日
3月23日
3月24日
3月25日
平均气温
8
10
14
11
12
销量（杯）
21
25
35
26
28
（1）若先从这五组数据中任取2组，求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出关于的线回归方程；
（3）根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月26日的白天平均气温7（），请预测该小卖部这种饮料的销量．（参考公式：）
【答案】（1）；（2）；（3）.
（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件，
所以．
（2）由数据，求得
由公式，求得，
∴关于的线性回归方程为．
（3）当时，，
所以该小卖部这种饮料的销量大约为18杯．
20（12分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．
解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为
（ax﹣2）（x+1）≥0，
且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），
∴a＞0；
又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；
∴=2，解得a=1；
（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；
②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，
当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，
它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，
∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；
当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，
不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，
在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，
∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；
在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；
在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，
a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，
﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，
a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，
a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}
21.（12分）在中，内角所对的边分别是，已知
.
(1)求角的大小；
(2)若的面积，且，求.
解：（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴ .
22．（12分）已知数列的前n项和为，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
解：（1）∵点在直线上，
∴∴Sn=∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n+5，
n=1时，a1=6也符合
∴an=n+5；∵bn+2﹣2bn+1+bn=0，∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn，
∴数列{bn}是等差数列∵其前9项和为153．
∴b5=17∵b3=11，∴公差d==3
∴bn=b3+3（n﹣3）=3n+2；
（2）=（）
∴Tn=（1﹣+﹣+…+）==．
解得
所以k的最大正是是28.