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- 2021-04-14 发布
高 2021 届第一次调研考试
数 学 试 题
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．已知集合 2{ | 1}M x x ． N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． M N B． { 1,1}M C． M D．1 M
2．复数 1
1 3i 的虚部是（ ）
A． 3
10
B． 3
10 C． 1
10 D． 1
10
3．已知命题 p：∀x∈R，cosx＞1，则 p 是（ ）
A．∃x∈R ，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1
C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1
4．函数 f x = 3log 3x x 的零点所在的区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠
肺炎累计确诊病例数 I(t)（t 的单位：天）的 Logistic 模型： 0.23( 53)( )=
1 e tI Kt ，其中 K 为最大确诊病
例数．当 I( *t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则（ *t －53）的值约为（ln19≈3）（ ）
A．10 B．13 C．63 D．66
6. 某人在 A 处向正东方向走 xkm 后到达 B 处，他沿南偏西 60°方向走 3km 到达 C 处，结果他离出发点
恰好 3km，那么 x 的值为（ ）
A． 3 或3 2 B． 3 或 2 3
C． 2 或3 2 D． 2 2
7．如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着
边 BC，CD 与 DA 运动，∠BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和
表示为 x 的函数 ( )f x ，则 ( )y f x 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
8．已知 函数 2( ) 2020 ln( 1 ) 2020 1x xf x x x ，则关于 x 的不等式 (2 1) (2 ) 2f x f x 的
解集为（ ）
A． 1( , )4
B． 1( , )2
C． 1( , )4
D． 1( , )2
二、选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）
9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A． ( )f x x 与 2( )g x x B． ( ) | 1|f t t 与 ( ) | 1|g x x
C． ( )f x x 与 2( ) log 2xg x D．
2 1( ) 1
xf x x
与 ( ) 1g x x
10．已知向量 2,1 , 1, 1 , 2, ,a b c m n 其中 ,m n 均为正数，且 / /a b c
，下列说法正确
的是（ ）
A． a
·b
=1 B． a
与b
的夹角为钝角
C．向量 a
在b
方向上的投影为 5
5
D． 2 4m n
11. 已知符号函数
1, 0
sgn( ) 0, 0
1, 0
x
x x
x
下列说法正确的是（ ）
A．函数 sgn( )y x 是偶函数 B．对任意的 1,sgn(ln ) 1x x
C． 0x 时，函数 sgn( )xy e x ＝ 的值域为 (0,1) D．对任意的 , sgn( )x R x x x ＝
12．已知函数 ( ) 2sin( )6f x x 的图象的一条对称轴为 x ，其中 为常数，且 (0,1) ，则以
下结论正确的是（ ）
A．函数 ( )f x 的最小正周期为 3
B． 3( ) 34f
C．将函数 ( )f x 的图象向左平移
6
所得图象关于原点对称
D．函数 ( )f x 在区间 (0,100 ) 上有 67 个零点
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13. 已知向量 1 2(6, ), ( 3,2)e e ，若 1 2e e ，则 的值为_____________.
14．复数 z 满足 2z z i ，则 z ______________.
15．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值
约为 0.618，这一数值也可以表示为 2sin18m . 若 2 4m n ，则
21 2cos 27
m n
＝__________．（用
数字作答）
16． 对 于三 次函 数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a ， 定义 ：设 ''f x 是 函数 y f x 的 导数
'y f x 的导数，若方程 '' 0f x 有实数解 0x ，则称点 0 0,x f x 为函数 y f x 的“拐点”．有
同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”
请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数 3 23 132 4f x x x x ，则 f x 的对称中心
为____________；计算 1 2 3 2020
2021 2021 2021 2021f f f f =______________．
四、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
已知全集为 R . 函数 ( ) log ( 1)f x x 的定义域为集合 A ，集合 2 2 0B x x x .
（1）求 A B ；（2）若 1C x m x m ， RC B ð ，求实数 m 的取值范围.
18.（本小题满分 12 分）
从①
4B ，② 3 2 sina B 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知 ABC
中， a ，b ， c 分别是内角 A ， B ，C 所对的边，且 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C .
（1）求角 A ；
（2）已知 6b ，且_________，求sinC 的值及 ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解
答，按第一个解答计分）
19.（本小题满分 12 分）已知函数 2cos 3sin cos 1f x x x x ．
（Ⅰ）求 f x 在区间 0, 上的单调递增区间；
（Ⅱ）若 0, ， 2
2 3f
，求sin 3
的值．
20.（本小题满分 12 分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水
果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料 x （单位：千
克）满足如下关系：
25 3 , 0 2
( ) 50 , 2 51
x x
W x x xx
，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如
培育管理、施肥等人工费） 20x 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千 克，且销路畅通供
不应求．记该水果树的单株利润为 ( )f x （单位：元）．
（Ⅰ）求 ( )f x 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料 为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， (1,cos )A x ， (1 sin ,cos )B x x ，且
0, 2x
，A，B，C 三点满足 2 1
3 3OC OA OB
.
（1）求证：A，B，C 三点共线；
（2）若函数 21( ) 2 | |3f x OA OC m AB m
的最小值为14
3
，求实数 m 的值.
22.（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) x xf x e e ，其中 e 是自然对数的底数．
（1）若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1xe m 在 ),0( 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0
3
00 xxaxf 成立．试比较 1ae 与 1ea 的大小，
并证明你的结论．
高 2021 届第一次调研考试·数学试题参考答案·第 1页（共 3 页）
高 2021 届第一次调研考试
数学试题参考答案
1—5. ABDCB 6—8. BDA 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD
13. 9 14. 3
4 i 15. 1
2
16. 1 ,12
2020
17. 解：（1）由 1 0x 得，函数 f x 的定义域 1A x x ，
又 2 2 0x x ， 得 2B x x 或 1x ，
∴ 2A B x x .………………………………………………………………………………5 分
（2）∵ 1 2C x x ，
①当C 时，满足要求， 此时1 m m ， 得 1
2m ；………………………………………7 分
②当C 时，要 1 2C x x ，则
1
1 1
2
m m
m
m
，解得 1 22 m ；
由①② 得， 2m ，∴ 实数 m 的取值范围 ,2 .……………………………………………10 分
18. 解：（1）因为 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C ，
由正弦定理得 2 2 2a b c bc ，
即
2 2 2 1
2 2
b c a
bc
，
得 1cos 2A ，
又 0 A ，
所以 2
3A ；…………………………………………………………………………………………6 分
（2）选择①时：
4B ， 2
3A ，
故 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 4C A B A B A B ；
根据正弦定理
sin sin
a b
A B
，故 3a ，
故 1 9 3 3sin2 4S ab C .…………………………………………………………………………12 分
选择②时： 3 2 sina B ，根据正弦定理
sin sin
a b
A B
，
故
6
sin3
2
3 2 sin B
B
，
解得 2sin 2B ，
6 2sin sin( ) sin cos cos sin 4C A B A B A B ，
根据正弦定理
sin sin
a b
A B
，故 3a ，
故 1 9 3 3sin2 4S ab C .…………………………………………………………………………12 分
19. 解：（Ⅰ） 22cos 3sin cos 1 2 3sin cos 2cos 1f x x x x x x x
3sin 2 cos2 2sin 2 6
x x x ．
令 2 2 22 6 2k x k ， k Z ，得
3 6k x k ， k Z ．
令 0k ，得
3 6x ；令 1k ，得 2 7
3 6x .
因此，函数 y f x 在区间 0, 上的单调递增区间为 0 6,
， 2π ,π3
；……………………6 分
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（Ⅱ）由 2
2 3f
，得 1sin 6 3
．
0, ， 7,6 6 6
，
又 π 1 1sin 6 3 2
， ,6 2
， 2 2 2cos 1 sin6 6 3
．
因此，sin sin sin cos cos sin3 6 6 6 6 6 6
1 3 2 2 1 3 2 2
3 2 3 2 6
．……………………………………………………………12 分
20. 解：（Ⅰ）由已知 15 20 10 15 30f x W x x x W x x
215 5 3 30 ,0 2,
5015 30 , 2 51
x x x
x x xx
275 30 225,0 2,
750 30 , 2 5.1
x x x
x x xx
……………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
2
2 175 222,0 2,75 30 225,0 2, 5=750 30 , 2 5. 25780 30 1 , 2 5.1 1
x xx x x
f x x x x x xx x
当 0 2x 时， max 2 465f x f ；
当 2 5x 时， 25780 30 11f x xx
25780 30 2 1 4801 xx
当且仅当 25 11 xx
时，即 4x 时等号成立．
因为 465 480 ，所以当 4x 时， max 480f x ．
答：当施用肥料为 4 千克时，种植该果树获得的最大利润是 480 元．……………………………12 分
21. 解：证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
(1,cos )A x ， (1 sin ,cos )B x x ，且 0, 2x
，
A，B，C 三点满足 2 1
3 3OC OA OB
.
∴ 2 1 1 1( )3 3 3 3AC OC OA OA OB OA OB OA AB ，
∴ AC AB
∥ .
又 AC
， AB
有公共点 A，∴A，B，C 三点共线.……………………………………………………5 分
（2）∵ (1,cos )OA x ， (1 sin ,cos )OB x x ， 0, 2x
，
∴ 2 1 2 1(1,cos ) (1 sin ,cos )3 3 3 3OC OA OB x x x
11 sin ,cos3 x x
，
∴ 211 sin cos3OA OC x x ， 2| | sin sinAB x x ，
∴函数 21( ) 2 | |3f x OA OC m AB m
2 21 11 sin cos 2 sin3 3x x m x m
，
即 2 22( ) 1 2 sin cos3f x m x x m
2 22sin 2 3 sin 2= x m x m
2
21 2 19sin 23 3 9x m m m
.
∵ 0, 2x
，∴sin [0,1]x .
①当 1
2
1
3m+ ，即 1
6m 时，当sin 1x 时，
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2 2
min
2 5 14( ) 1 2 2 23 3 3f x m m m m ，
解得 3m 或 1m ，又 1
6m 时，∴ 3m .
②当 1 1
3 2m ，即 1
6m 时，当sin 0x 时，
2
min
14( ) 2 3f x m ，解得 2 6
3m ，
又 1
6m ，∴ 2 6
3m ，
∴综上所述，m 的值为 3m 或 2 6
3m ………………………………………………………12 分
22. 解：（1）由题意， (e e ) e 1x x xm m ≤ ，即 (e e 1) e 1x x xm ≤
∵ (0 )x ， ，∴ e e 1 0x x ，即 e 1
e e 1
x
x xm
≤ 对 (0 )x ， 恒成立
令 e ( 1)xt t ，则 2
1
1
tm t t
≤ 对任意 (1 )t ， 恒成立
∵ 2 2
1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) 1 1 31 11
t t
t t t t t t
≥ ，
当且仅当 2t 时等号成立
∴ 1
3m ≤ ………………………………………………………………………………………………5 分
（2） '( ) e ex xf x ，当 1x 时 '( ) 0f x ，∴ ( )f x 在 (1 ) ， 上单调增
令 3( ) ( 3 )h x a x x ， '( ) 3 ( 1)h x ax x
∵ 0 1a x ， ，∴ '( ) 0h x ，即 ( )h x 在 (1 )x ， 上单调减
∵存在 0 [1 )x ， ，使得 3
0 0 0( ) ( 3 )f x a x x ，∴ 1(1) e 2ef a ，
即 1 1e2 ea
∵
e-1
e 1 1
1ln ln ln e (e 1)ln 1e
a
a
a a a a
设 ( ) (e 1)ln 1m a a a ，则 e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2 e
am a aa a
，
当 1 1e e 12 e a 时， '( ) 0m a ， ( )m a 单调增；
当 e 1a 时， '( ) 0m a ， ( )m a 单调减
而 (1) (e) 0m m 且 1 11 2 e e
∴当 ea 时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ；
当 1 1e e2 e a 时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ；
当 ea 时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ．…………………………………………………………………12 分