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- 2021-04-14 发布
第15天 导数的综合应用
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆
典例在线
（2017新课标全国Ⅲ文）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a﹤0时，证明：．
【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析．
（2）由（1）可知，当时，在处取得最大值，最大值为．
所以等价于，即．
设，则，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时取得最大值，最大值为，所以当时，．
从而当时，，即．
【解题必备】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．
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1．已知点为函数与图象的公共点，若以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为___________________．
2．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的最大值．
1．【答案】
所以在上为增函数，在上为减函数，
于是在上的最大值为，故的最大值为．
2．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）．
①若，则，在上单调递增；
②若，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，，即，所以函数单调递增，
所以，所以，故实数的最大值为．