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- 2021-04-14 发布
2017年下学期冷水江市第一中学高二期中考试试卷
理 科 数 学
时量：120分钟 分值120分
命题：王在轩 审题：周国新
一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )
A. B.2 C.6 D.4
3.命题“∃x0∈R，”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0
C．∃x0∈R， D．∃x0∈R，
4.在△ABC中，三个内角所对的边为，若， ，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（ ）
A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C．命题p的逆否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D．命题p的逆否命题是真命题
6.设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[﹣5，] B．[﹣5，0）∪[，+∞）
C．（﹣∞，﹣5]∪[，+∞） D．[﹣5，0）∪（0，]
7.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件
8.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是,在第一象限的公共点.若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
9.若，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
10.抛物线的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11.设不等式组表示的平面区域为D.若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是( )
A．[2，2] B．[2，3]
C．[3，2] D．(0，2)∪(2，＋∞)
12.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，
Q，T为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则=（ ）
A．5 B．3+ C．9 D．14
二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前n项和
14.双曲线（a>0，b>0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于
15.已知分别为的三个内角的对边，且 ，则面积的最大值为
16.已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ．
三、 解答题(本大题6小题，共56分)
17.（本题8分）△错误！未找到引用源。中，角错误！未找到引用源。所对的边分别为错误！未找到引用源。，已知错误！未找到引用源。=3，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,
（1） 求错误！未找到引用源。得值；
（2） 求△错误！未找到引用源。的面积.
18.（本题8分）设数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．
19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数
为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
20.（本题10分）已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。.
(1)求数列错误！未找到引用源。的通项公式；
(2)设错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和.
21.（本题10分）已知点F是拋物线C：的焦点，若点M在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B
两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
2017年下学期冷水江市第一中学高二期中考试试卷
数 学 答 案
时量：120分钟 分值120分
命题：王在轩 审题：周国新
一、 选择题（本大题共12题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
B
D
C
B
B
C
D
D
D
二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. ； 14. 4 ； 15. ； 16. [﹣9，+∞） ．
三、 解答题(本大题6小题，共56分)
17.（本题8分）△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,
（1） 求得值；
（2） 求△的面积.
【答案】(1）.（2）的面积.
18.（本题8分）设数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．
解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
19.（本题8分）命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假命题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
∴q为真时a＜﹣或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；
当p真q假时，，即＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；
（2）∵，
∴﹣1≤0，
即，
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵¬p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，
∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．
20.（本题10分）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
21.（本题10分）已知点F是拋物线C：的焦点，若点M在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，
又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，
∴p的值；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，
当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），
则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，
∴kAM•kBM=×=﹣．
当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，
kAM•kBM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），
联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，
∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，
故kAM•kBM===﹣，
22.（本题12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；（ 2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，
S△OAB=××=；
②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，
即有4m2=3（1+k2），
|AB|=•=•
=•=•
=•≤•=2，
当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，
可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．