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- 2021-04-14 发布
2019学年第二学期期中联考
高二数学（文科）试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．设是虚数单位，复数，则｜｜＝（ ）
A．1 B． C． D．2
2.散点图在回归分析过程中的作用是（ ）
A．查找个体个数 B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类 D．粗略判断变量是否线性相关
3．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )
A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①
2,4,6
2,4,6
4．如果 （ ）
A． B． C．6 D．8
5.用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程有有理根，那么中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是 （ ）
A. 假设都是奇数 B.假设至少有两个是奇数
C. 假设至多有一个是奇数 D. 假设不都是奇数
6.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（ =1，2，…，8），其回归直线方程是且，，则实数（ ）
A. B. C. D.
7.右面的等高条形图可以说明的问题是( )
A.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C.此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握
8．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
- 7 -
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
9. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为. 下面叙述不正确的是 （ ）
A. 各月的平均最低气温都在以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于的月份有5个
10．我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与右图相似.记为除以所得余数，执行程序框图，若输入分别为243,45，则输出的的值为（）
A.0 B.1 C.9 D.18
11．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 017等于( )
A. B.－1 C．2 D．3
12.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
A. B. C. D.
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二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡相应横线上）
13.复数满足（是虚数单位），则复数对应的点位于复平面的第_______象限．
14.已知x与y之间的一组数据：
0
1
2
3
1
3
5
7
则与的线性回归方程必过点______________.
15．如图是一个算法框图，则输出的的值是 .
16.记等差数列的前项的和为，利用倒序求和的方法得：：类似地，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即________________．
三、解答题：（包括必考题和选考题两部分。第17题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）已知是复数，和均为实数（为虚数单位）．
（1）求复数；（2）求的模．
18、(本小题满分12分) ＋＋＋…＋，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
19、（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．
（1）请将上面的列表补充完整.
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由.
（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
- 7 -
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：）
20、（本小题满分12分）
已知等式：，，，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．
21、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：
时间代号t
1
2[
3
4
5
z
0
1
2
3
5
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程，其中）
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：若多做，则按所做第一个题目计分
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线和曲线的位置关系．
（2）选修4-5：不等式选讲
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式 的解集为 .
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若 求证：.
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福州市八县（市）协作校2016-2017学年第二学期半期联考
高二数学（文科）参考答案
一、选择题：1-5 B D D C B 6-10 A D C D C 11-12 A B
二、填空题：13、四； 14、； 15、5； 16、
三、解答题：
17. 解：（1）设 ()，所以为实数，可得
又因为为实数，所以，即． ．．．．．．．．．．．6分
（2），所以模为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18. 解 n＝1时，＝；
n＝2时，＋＝＋＝；
n＝3时，＋＋＝＋＝；
n＝4时，＋＋＋＝＋＝ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想＋＋＋…＋＝ .．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
证明如下：
由＝1－，＝－，…，＝－.
∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝ .．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19. （1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，，
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
8
不胖
4
18
22
- 7 -
合计
10
20
30
（2）由已知数据可求得：，
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表
小组
1
2
3
4
5
6
收集数据
甲乙
甲丙
甲丁
乙丙
乙丁
丙丁
处理数据
丙丁
乙丁
乙丙
甲丁
甲丙
甲乙
分组的情况总有6中，工作人员甲 负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，
所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是． ．．．．．．．．12分
20. 归纳：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝. ．．．．．．．．5分
证明如下：
sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)
＝sin2θ＋2＋sin θ
＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ－sin2θ＝. ．．．．．．．．12分
21. 解析：解：（1）
，
．．．．．．．．．．．．．．6分
（2），代入得到：
，即
，
预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 ．．．．．．．．．．．12分
22.（1）（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为：
又曲线C的直角坐标方程为：
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将直线的参数方程化为直角坐标方程得： ．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0,1），半径
则圆心C到直线的距离
直线 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（2）（Ⅰ）由不等式
所以 ．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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