2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：10-1　排列、组合（讲解部分） 15页

专题十　计数原理 10.1 　排列、组合 高考理数 考点    计数原理、排列、组合 考点清单 考向基础 1.两个计数原理的联系与区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 区别一 每类办法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏 2.排列与排列数 (1)排列:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素,按照一定的 顺序 排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作   . 注意　易混淆排列与排列数, 排列是一个具体的排法,不是数而是一件事, 而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素组成一组,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作   . 注意　易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有 关, 排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. 4.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)   = n ( n -1)( n -2) … ( n - m +1)=   ; (2)   =   =   =   .( n , m ∈N * ,且 m ≤ n ) 性质 (1)0!=1;(2)   = n !;(3)   =   ;(4)   =   +   考向突破 考向一    两个基本计数原理的应用 例1 　如图所示,用五种不同的颜色分别给 A 、 B 、 C 、 D 四个区域涂色,相 邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共 有 　　　     种. 解析　 按区域分四步:第一步, A 区域有5种颜色可选; 第二步, B 区域有4种颜色可选; 第三步, C 区域有3种颜色可选; 第四步,由于 D 区域可以使用区域 A 已选择的颜色,故也有3种颜色可选. 由分步乘法计数原理知,共有5 × 4 × 3 × 3=180(种)涂色方法. 答案 　180 考向二    有限制条件的排列问题或组合问题 例2     (2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项, 每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(　　) A.12种　　　　    B.18种　　　　    C.24种　　　　    D.36种 解析　 第一步:将4项工作分成3组,共有   种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有   种分配方法,故共有   ·   =36 种安排方式,故选D. 答案     D 方法1      求解排列问题的常用方法 方法技巧 直接法 直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看成一个整体与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中 先整体后局部 “小集团”排列问题中,先整体后局部 除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化 例1     (2019安徽六安一中高二月考,20)在班级活动中,4名男生和3名女生 站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答) (1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法? (2)四名男生相邻有多少种不同的站法? (3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法? (4)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三 位同学身高互不相等) (5)现有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的 不同坐法共有多少种? 解析 　(1)根据题意,分2步进行分析: ①将4名男生全排列,有   =24种情况,排好后有5个空位. ②在5个空位中任选3个,安排3名女生,有   =60种情况. 则三名女生不能相邻的排法有24 × 60=1 440种. (2)根据题意,分2步进行分析: ①将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有   =24种情况. ②将这个整体与三名女生全排列,有   =24种情况. 则四名男生相邻的排法有24 × 24=576种. (3)根据题意,分2种情况讨论: ①女生甲站在右端,其余6人全排列,有   =720种站法. ②女生甲不站在右端,甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列, 安排在剩余的位置,有   =120种站法,则此时有5 × 5 × 120=3 000种站法. 则一共有720+3 000=3 720种站法. (4)根据题意,首先把7名同学全排列,共有   种结果, 甲、乙、丙三人内部的排列共有   =6种结果, 要使甲、乙、丙三个人按照高矮顺序排列,结果数只占6种结果中的一种, 则有   =840种. (5)根据题意,7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,还有3个空座位,分2步 进行分析: ①将4名男生全排列,有   种情况,排好后有5个空位, ②将3个空座位分成2、1的2组,在5个空位中任选2个,安排2组空座位,有   种情况,则有    =480种排法. 方法2      分组、分配问题的求解策略 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: ①完全均匀分组,每组元素的个数都相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: ①相同元素的分配问题,常用“挡板法”; ②不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; ③有限制条件的分配问题,采用分类法求解. 例2 　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析 　(1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有   种选法;再从余下的5本中选2本,有   种选法;最后余下3本全 选,有   种选法. 故共有      =60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有        =360(种). (3)无序均匀分组问题. 先分三步,则应是     种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书 为 A , B , C , D , E , F ,若第一步取了 AB ,第二步取了 CD ,第三步取了 EF ,记该种分 法为( AB , CD , EF ),则     种分法中还有( AB , EF , CD ),( CD , AB , EF ),( CD , EF , AB ),( EF , CD , AB ),( EF , AB , CD ),共有   种情况,而这   种情况仅是 AB , CD , EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有   =15(种). (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =     =90(种). (5)无序部分均匀分组问题. 共有   =15(种). (6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =90(种). (7)直接分配问题. 甲选1本,有   种方法;乙从余下的5本中选1本,有   种方法;余下4本留给丙, 有   种方法.共有分配方式       =30(种).