- 549.50 KB
- 2021-04-14 发布
专题九 计数原理
误区二：混淆项的系数与二项式系数失误
一、易错提醒
二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．不少同学在求解二项式定理问题时,常混淆的项的系数或二项式系数,本文对与此相关的几个问题进行对比分析,供同学们参考.
二、典例精析
一、混淆特定项的系数与二项式系数
(a＋b)n展开式中各项的二项式系数为：C( ＝0,1,2,…,n)．注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C( ＝0,1,…,n)．
【例1】的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
【分析】先准确写出通项Tr＋1＝ Can－rbr,再把系数与字母分离出来(注意符号)
【点评】已知展开式的某项,求特定项的系数．可由某项得出参数项,再由通项公式写出第r＋1项,由特定项得出r值,最后求出其参数．
【小试牛刀】【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考】在的展开式中,含的项的系数是（ ）
A．60 B．160 C.180 D．240
【答案】D
【解析】二项式的通项公式为,
令,则,所以含的项的系数是.故应选D
二、混淆系数最大值与二项式系数最大值
求二项式系数最大项：①如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大；②如果n是奇数,则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,列出不等式组从而解出r,即得展开式系数最大的项.
【例2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.
(1)求的二项式系数最大的项；
(2)求的展开式系数最大的项.
【分析】先确定n的值,再求二项式系数最大的项与系数最大的项
【解析】由题意知,22n－2n＝992,即(2n－32)(2n＋31)＝0,
∴2n＝32(负值舍去),解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质知,的展开式中第6项的二项式系数最大,即C＝252.
∴T6＝C(2x)5＝C25＝8064.
【点评】注意题中是假设第r＋1项的系数最大,故求出r后,还要加1.
【小试牛刀】的展开式中二项式系数最大的项是第 项,系数最大的项是第 项.
【答案】6或7；7
【解析】的展开式共有12项,二项式系数最大的项是正中间两项,即第6项与第7项；由于第6项的系数为负数,第7项的二项式系数与系数相等,故系数最大的项是第7 项.
三、混淆系数之和与二项式系数之和
1.(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C＋C＋C＋…＝C＋C
＋C＋…＝2n－1.
2. 对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.[ :学 ]
【例3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9,且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39,则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
【分析】分别令x＝0与x＝－2可得a0＋a1＋a2＋…＋a9与a0－a1＋a2－a3＋…－a9表达式,再根据题中条件,列出关于m的方程.
【解析】令x＝0,得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9,令x＝－2,得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9,所以有(2＋m)9m9＝39,即m2＋2m＝3,解得m＝1或－3.
【点评】二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立．因此,可将a,b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1、－1或0”,有时也取其他值．
【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】若的展开式中各项系数的和2,则该展开式中的常数项为__________．
【答案】40
【解析】
试题分析：由题意得,因此该展开式中的常数项为
三、迁移运用
1．【四川省雅安市2018届高三下学期三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵展开式的各个二项式系数的和为
∴，则，即.
设的通项公式为.
令，则.∴的展开式中的系数为.故选A.
2．【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是
A. B. C. D.
【答案】D
3．【新疆2018届高三第二次适应性模拟】若展开式中含项的系数为-80，则等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】 由二项式的展开式为，
令，即，
经验证可得，故选A.
4．【安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测】二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为
，由题得为整数，所以故选D.
5.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．-30 C.-10 D．-20[ :学* * *X*X* ]
【答案】C
【解析】由题意得展开式中的系数为,选C.[ : xx ]
6.【广东2017届高三上学期阶段测评】若,则的值为（ ）
A． B． C.253 D．126
【答案】C
【解析】令,得,,∴.选C.[ : xx ]
7.【河北唐山市2017届高三年级期末】在展开式中, 二项式系数的最大值为 ,含项的系数为,则（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】由题意,得,,所以,故选D．
8. (2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x) 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a＝____________.
【答案】3
【解析】设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,
令x＝1,得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5,①
令x＝－1,得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②,得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1),所以8(a＋1)＝32,解得a＝3.
9.设m为正整数,(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a＝7b,则m＝________.
【答案】6
10．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知,那么展开式中含项的系数为 ．
【答案】135
【解析】根据题意,,则中,由二项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为．
11【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】若, 记,则的值为 ．
【答案】
【解析】令,有,所以.
12.【云南大理2017届高三第一次统测】的二次展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则展开式中项的系数为___________．
【答案】
【解析】由二项式系数的性质可知,所以,展开式的通项公式,令得,所以展开式中项的系数为.
13．【2016届山东省济南外国语学校高三上开学考试】已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等,则 ．学
【答案】
14．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考】已知关于x的二项式 展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则展开式的各项系数和为_________．
【答案】
【解析】易知,所以二项式的通项公式为,则当r=3时,第四项为常数项,所以,解得．令二项式中x=1即得各项系数和．
15.(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等,则系数最大项为________．
【答案】672x5
【解析】由于x3与x4项的二项式系数相等,则n＝7.∴T ＋1＝C(2x) ,
由,得≤ ≤,∴ ＝5,∴系数最大项为C(2x)5＝672x5.