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- 2021-04-14 发布
专题2：函数的图象与性质（两课时）
班级 姓名
一、前测训练
1．求下列函数的值域：
（1）y＝sin(2x＋) x∈[0，] （2）y＝ （3）y＝x＋
（4）f(x)＝()x－x，x∈[－1，2] （5）f(x)＝x2＋ （6）f(x)＝xlnx
答案：（1）[，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，]；（4）[－，3]；（5）[2－1，＋∞)；
（6）[－，＋∞).
解析：（1）2x＋∈[，]
(2) y＝ ＝－1，x＋1≥1
(3)令t＝ ，t≥0，∴y＝1－t＋4
(4) f(x)＝()x－x单调递减
(5) f(x)＝x2＋1＋－1（x2＋1≥1）∴x2＋1＋≥2（当且仅当x2＋1＝取“＝”）
(6)f(x)＝xlnx，∴f ′(x)＝lnx＋1，∴（0，）上f(x)单调递减，（，＋∞）上f(x)单调递增
2．（1）f(x)＝x(＋)的奇偶性为 ．
（2）若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a=
（3）若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x) ＝ ．
答案：（1）偶函数；（2）1；（3）．
解析：（1）先求定义域{x|x≠0}，f(x)＝x ，化简f(－x)
(2)h(x)＝ ln(x＋)为奇函数，则h(－x)＋h(x)＝0
(3)当x＝0时，f(x)＝0；当 x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－1＋
3．（1）函数f(x)＝的增区间为 ；
（2）已知函数y＝log(2－ax)在区间[0，1]上为单调递减，则实数a的取值范围为 ．
（3）f(x)＝lnx－2x2的减区间为 ．
答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)；（3）(，＋∞) ．
解析：（1）f(x)＝＝＝2－
（2）y＝log(2－ax)，令2－ax＝t，则y＝logt。由题意得， t ＝2－ax在[0，1]上单调递增，∴a＜0
又x∈[0，1]，时，2－ax＞0，∴2－a＜0，综上，a< 0
(3) f(x)＝lnx－2x2，x＞0，则f ′(x)＝－4x，令f ′(x)＜0
4．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝ ；当x∈[4，6]时，f(x)＝ ．
答案：－；
解析：根据f(x＋2)＝－f(x)，得到f(x)周期为4，则f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)
将[0，1]的图象向右平移4个单位长度，得到4≤x≤5时，f(x)＝x－4；
又f(x)是R上的奇函数，－1≤x≤0时，f(x)＝－f(－x)＝x
将[－1，0]的图象向右平移4个单位长度，得到当3≤x≤4时，f(x)＝x－4；
再向右平移两个单位长度，得到5≤x≤6时，f(x) ＝－ f(x－2)＝－（x－6）
5．（1）已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，①将函数y＝f(x)图象向右平移2个单位后的解析式为 ．②与函数y＝f(x)图象关于y轴对称的函数解析式为 ．
（2）方程＝x＋m有一个实数解，则m的取值范围为 ．
答案：（1）①y＝ln(2x－3)；②y＝ln(1－2x)；（2）[－1，1)∪｛｝.
解析：（1）①y＝ln[2(x－2)＋1]②y＝ln[2(－x)＋1]
(2)有一个交点，第一段图象是上半圆，第二段的图像是将y＝x上下平移，过（0，－1）的直线向上平移至过（0，1）（取不到），再向上平移至相切
6．（1）若函数y＝log2(x＋2)的图象与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)= ．
（2）已知f(x)＝log2|ax＋3|关于x＝1对称，则实数a＝ ．
答案：（1）log2(4－x)；（2）－3或0．
解析：（1）令h(x)＝log2(x＋2)，则f(x)＝h(2－x)
(2)代入 f(0)＝f(2)
二、方法联想
1．值域求法
（1）图象法；（2）复合函数法；（3）部分分式法；（4）换元法；（5）单调性法；（6）基本不等式法；
（7）导数法．
变式1、若函数的值域是则实数的取值范围是 .
答案：
(分段函数的值域是各段函数值域的并集)
变式2、定义为中的最小值，设，则的最大值是__________
答案：2
（数形结合求值域)
变式3、函数的值域为_________
答案：
（构造图像求值域）
2．判断函数奇偶性
方法1 定义法；方法2 图象法．
优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域．但证明奇偶性只能用定义法．
已知函数奇偶性[来源:Z&xx&k.Com]
方法1 若函数为奇函数且0在定义域内，用f(0)＝0；方法2 利用特殊值法；方法3 利用定义．
优先用方法1，再用方法2，注意检验．但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性．
变式1、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .
答案：-3
（已知函数奇偶性求值）
变式2、已知为非零常数,满足,则 .
(熟悉常见函数的奇偶性)
3．判断函数单调性
方法1 图象法；方法2 复合函数法；方法3 导数法；方法4 定义法．
判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法．
注意：单调性证明只能用导数法和定义法．
变式1、设函数,若对任意的,不等式
恒成立,则实数的取值范围是 .
答案：
(注意单调性的不同表现形式,数形结合)
变式2、已知函数.若，则的取值范围是 .
答案：
（分段函数的奇偶性、单调性结合）
4．奇偶性、对称性、周期性的综合
常用结论：
①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝ f(x)，则称f(x)为周期函数．
②若函数满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期为2a．
③若函数满足f(x＋a)＝ ，则f(x)的周期为2a．
④若函数满足f(x＋a)＝ － ，则f(x)的周期为2a．
变式1：已知函数f(x)对任意实数x都有f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝___________．
答案：－
变式2：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)对一切实数x都成立，若f(1)＝0，则关于x的方程f(x)＝0在[0，10]上的解的个数为______________．
答案：11
5．函数图象变换
(一)对称变换； (二)翻折变换； (三)平移变换； (四)伸缩变换
处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法．作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题．我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用．
变式1、已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________.
答案：
(图形变换)
6．图象的对称问题
方法1 相关点法；方法2 特殊值法．
常用结论：
①若函数满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)图象关于x＝ 对称．
②若函数满足f(a＋x)＋f(b－x)＝m，则f(x)图象关于(，)对称．
变式1、定义域为的函数满足，当时，，则
答案：
（函数周期性的沿用）
变式2、已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为
答案：
（运用函数周期性求函数的最小值）
三、例题分析
例1.已知函数f(x)＝．
（1）当a＝b＝1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；
（2）若y＝f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y＝f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.
解：（1）x的取值范围为(－∞，－1]．
（2）f (x)＝＝(－1＋).
f (x) 在R上单调递减.
解析：解答： 解：（1）由题意知，≥3x；
化简得，3（3x）2＋2×3x－1≤0，
解得，－1≤3x≤；故x≤－1；
（2）由题意，f（0）＝＝0，故a＝1；
再由f（1）＋f（－1）＝0得，b＝3；
经验证f（x）＝是奇函数
证明：∵
y＝f（x）的定义域为R，∴b≥0；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（3a＋b），
∵x1＜x2，∴＞0，
故当3a＋b＞0时，f（x）在R上单调递减，
当3a＋b＜0时，f（x）在R上单调递增，
当3a＋b＝0时，f（x）在R上不具有单调性．
【教学建议】
1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题.
2.本题的易错点是第二问中忽视由“f(x)的定义域为R”所得到的“b≥0”的条件.
3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.
4.判断函数的单调性的常用方法有：①能画出图象的一般用数形结合法去观察；②由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；③对于解析式较复杂的一般用导数法；④对于抽象函数的一般用定义法.
例2.已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．
（1）证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
（2）若f(x)是偶函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4，0]时的f(x)的表达式．
解：（1）证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，
点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∵f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，
∴P′也在y＝f(x)的图象上，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
（2）f(x)＝
解析：f(x)是偶函数，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称
∵f(x)是偶函数，∴x∈[－2，0]时，f(x)＝f(－x)＝2（－x）－1＝－2x－1，
∴x∈[－4，－2]时，f(x)＝f(－4－x)＝－2（－4－x）－1
【教学建议】
1.本题设奇函数的对称性、奇偶性.第一问中函数图象对称性的证明可转化为图象的上任意点的对称性的证明.第二问中函数f(x)在[－4，0]上表达式是分段函数.
2.在第二问中，“f(2＋x)＝f(2－x)”与“f(4＋x)＝f(－x)”都是表示函数y＝f(x
)的图象关于直线x＝2对称，又由函数的奇偶性得到：f(4＋x)＝f(－x)＝f(x).这样可以进一步得到定义在R上的函数f(x)是周期函数，4是它的一个周期.因此第二问也可以通过说明函数的周期性来求解析式.事实上，若一个函数具备奇偶性、对称性、周期性中两个性质，那么它一定也具备第三个性质.
例3.已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．
（1）若a＝1，作函数f(x)的图象；
（2）设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
（3）设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）作图象如右图所示．
（2）g(a)＝
（3）实数a的取值范围为．
解析：（1）a=1，，
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，
，
①，f（x）在[1，2]为增函数，；
②；
③时，f（x）在[1，2]是减函数，；
综上可得，；
（3）在区间[1，2]上任取，
则
，（*）
∵h（x）在[1，2]上是增函数，
∴，
∴(*)可转化为对任意都成立，
即，
①当a=0时，上式显然成立；
②a＞0，，
；
③a＜0，；
所以实数a的取值范围是。
【教学建议】
1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h′(x)≥0对于任意的x∈[1，2]恒成立来解决，也可以用定义法来解决．
2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物线的对称轴.
3.本题的易错点有三个，一是第（2）问中容易遗漏“a＝0”的情况；二是第三问用导数解决函数的单调性问题时，误将“h′(x)＝a－≥0在[1，2]上恒成立”写成“h′(x)＝a－＞0在[1，2]上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a＝0”
的情形.
四、反馈练习
1．已知函数的定义域和值域都是，则 .
答案：－
说明：本题考查函数的值域
解析：对a＞1和0＜a＜1讨论
2．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是 ．
答案：[2，]
说明：本题考查函数的值域
解析：令f(x)＝t，t∈[，3]，y＝t＋在（0，1）上单调递减，（1，3）上单调递增
3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则f(x)＜0的x的取值范围是 ．
答案：(－2，2)
说明：本题考查函数奇偶性与单调性
解析：作出f(x)的草图
4．函数y＝的单调递减区间为__________________．
答案：(－∞，－2]
说明：本题考查复合函数单调性
解析：先求定义域，令t＝x2－4x－12，t＞0，则y＝，根据增减得减，得x∈(－∞，－2]
5．函数y＝的图象向下平移5个单位，再向右平移5个单位后所得的图象的函数解析式为__________
答案：
说明：
解析：
6.已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是______．
答案：
说明：
解析：
7.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2012)＋f(－2013)的值为________．[来源:学科网]
答案：1
说明：本题考查函数的奇偶性、周期性
解析：x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，则x≥0时，f(x)周期是4，则f(2012)＝f(0)＝0；f(－2013)＝f(2013)＝f(1)＝1
8．偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
答案：3
说明：本题考查函数的奇偶性、函数图象的对称性
解析：f(－1)＝f(1)＝f(3)
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集为______________．
答案：(－5，0)∪(5，＋∞)
说明：本题考查函数的奇偶性
解析：当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x，得到x∈(5，＋∞)
当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，则不等式f(x)＞x，得到x∈(－5，0)
或者作图像
10．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
答案：1
说明：本题考查函数图象的对称问题
解析：，则y＝f(x)关于x＝1对称。又关于x＝a对称，则a＝1
11.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_______．
答案：(，1)
说明：本题考查函数与方程、函数的图象
解析: g(x)＝kx过（0，0）旋转，和f(x)＝|x－2|＋1有两个交点
12．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝_________.
答案：－8
说明：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数的图象
解析：f(x－4)＝－f(x)得f(x)周期为8，又奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(x－4)＝f(－x)，则f(x)关于x＝－2对称
13．已知函数g(x)＝＋1与h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．
（1）求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
（2）当a＝时，求函数f(x)的值域．
答案：（1）f(x)＝，x∈[0，a]；
（2）[，]．
说明：（1）考查函数的解析式、定义域；
（2）考查函数的值域．
解析：令t＝＋1，则t∈[1，]且x＝（t－1）2
∴y＝f(x)＝∴y＝
∵t－2＋在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴在[1，]上递增，即此时f（x）的值域为[，]．
14．已知函数f(x)＝a＋(a∈R)．[来源:学科网ZXXK]
（1）判断函数f(x)的单调性，并证明；
（2）若f(x)为奇函数，求a的值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f(2t＋1)＋f(t－5)≤0．
答案：（1）f(x)在R上是单调减函数，证明略；
（2）a＝－1；
（3）[，＋∞．)
说明：（1）考查函数单调性的判断和证明方法；
（2）考查函数的奇偶性；
（3）考查函数的单调性与奇偶性的综合运用．
解析：
（1）证明：设x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－＝
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x2－2x1＞0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0．
即f（x1）－f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0⇒a＝－1．
（3）有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t＋1）＋f（t－5）≤0．转化为f（2t＋1）≤－f（t－5）＝f（－t＋5），⇒2t＋1≥－t＋5⇒t≥
故所求不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为：{t|t≥}．
15.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.
(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.
要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，∴－30，a>－3.∴01时，f(x)在[1，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f()＝2＋2，2＋2>0，显然成立．
综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．
(考查函数的单调性,不等式恒成立).
16.设函数(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)＞0，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；
(3)若f(1)＝，且在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
解 (1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1.
(2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数．
于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.
(3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，
得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.
若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2.
若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2，
解得m＝(舍去)．综上得m＝2.
(考查函数的奇偶性和单调性).