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- 2021-04-14 发布
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
本试卷满分120分，考试时间100分钟
一、选择题共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（ ）
A. k1>k2>k3 B. k1> k3> k2 C. k3> k2> k1 D. k2> k3> k1
2. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 过点（-l，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ）
A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=0
4. 已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为，则球O的表面积为（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 6
5. 在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p=xa+yb+zc。
正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos（，）的值为（ ）
A. B. 0 C. D.
7. 如图，点O为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共6小题，共30分。
9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。
10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。
11. 正四面体棱长为，则它的体积是_________。
12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_______。
13. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。
14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。
三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （12分）已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。
（1）求直线PQ的方程；
（2）圆C的方程；
（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。
16. （12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。
17. （12分）已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）求四边形QAMB面积的最小值；
（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。
18. （14分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-A的大小；
（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。
参考答案
1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. 10. 10. 2
11. 12. 13. 2 14. 2；3
15. （1）直线PQ的方程为x+y-2=0。
（2）圆C的方程为（x-1）2+y2=13。
（3）设直线l的方程为y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），
由题意可知OA⊥OB，即·=0，
所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，
化简得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0。（*）
由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，
所以x1+x2=m+1，x1x2=。
代入（*）式，得m2-12-m·（m+1）+m2=0，
所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式>0，
所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。
16. （1）因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC。
又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD。
（2）因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC。
由（1）知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC。
所以平面BDE⊥平面PAC。
（3）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，
所以PA∥DE。
因为D为AC的中点，所以DE=PA=l，BD=DC=。
由（1）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC。
所以三棱锥E-BCD的体积V=BD·DC·DE=。
17. （1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，
则圆心M到切线的距离为1，
所以，所以m=或0，
所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。
（2）因为MA⊥AQ，所以S四边形MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。
所以四边形QAMB面积的最小值为。
（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，
所以|MP|=。
在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，
即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。
设Q（x，0），则x2+22=9，所以x=±，所以Q（±，0），
所以MQ的方程为2x+y+2=0或2x-y-2=0。
18. （1）连结AB1交A1B于M，连结DM，
因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
所以四边形AA1B1B是矩形，
所以M为AB1的中点。
因为D是AC的中点，
所以MD是三角形AB1C的中位线，
所以MD∥B1C。
因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD。
（2）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，
所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。
因为AB=2，AA1=，D是AC的中点。
所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），
所以D（，0，），=（，0，），=（2，，0）。
设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，
所以即
令x=-，则y=2，z=3，
所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一个法向量。
由题意可知=（0，，0）是平面ABD的一个法向量，
所以cos==。
由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为。
（3）设E（1，x，0），则=（1，x-，-），=（-1，0，-），
设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），
所以即
令z1=-，则x1=3，y1=，
m=（3，，-），
又m·n=0，即-3+-3=0，解得x=，
所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=。