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- 2021-04-14 发布
2013届高考一轮复习 空间几何体的表面积和体积
一、选择题
1、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
2、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是 ( )
A. B.
C. D.6
3、长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是( )
A.
B.
C.11
D.12
4、一正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为a,该三棱锥的表面积是( )
A. B. C. D.
5、圆台上、下底面面积分别是、4,侧面积是6,则圆台的体积是( )
A. B. C. D.
6、已知A、B为球面上的两点,O为球心,且AB=3,则球的体积为( )
A. B.
C.36 D.
7、设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( )
二、填空题
8、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球体积是 .
9、圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
10、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .
11、已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3,则球O的表面积等于 .
12、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 .
13、体积为8的一个正方体,其表面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于 .
三、解答题
14、如图所示,在斜三棱柱ABC-中侧棱与底面所成的角为,BC=4.求斜三棱柱ABC的体积V.
15、 已知正方体的棱长为a,E、F分别为棱与的中点,求四棱锥的体积.
16、如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形.
(1)证明:;
(2)若PC=4,且平面平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.
以下是答案
一、选择题
1、 B
解析:由已知,球O的直径2R等于长方体的对角线,
∵
∴球的表面积S=4.
2、C
解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱.
.
3、A
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
则有ab=2,bc=6,ac=9,
∴.
4、 A
解析:设正三棱锥的侧棱长为b,
由题意知此正三棱锥的侧面都是等腰直角三角形,则有
∴.
5、D
解析:∵,∴r=1,R=2,
=(r+R)l,∴l=2,∴.
∴V= .
6、 B
解析:△AOB为等腰三角形,腰长为球的半径,AB=3,通过解三角形解出OA和OB,即从而求出球的体积为,故选B.
7、 B
解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下均匀,所以当向杯中匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,只有选项B符合题意.故选B.
二、填空题
8、
解析:依题意,设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c,则有ab=12,bc=8,ac=6,解得a=3,b=4,c=2.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球,所以外接球的直径为所求体积为.
9、 4
解析:设球的半径为r,
则.
10、3
解析:该三视图对应的几何体是直四棱柱,
所以.
11、16
解析:由题意得圆M的半径设球的半径为R,又球心到圆M的距离为由勾股定理得∴R=2,则球的表面积为4,故填16.
12、
解析:将几何体补充出来,如图所示.最长棱为PB=.
13、
解析:设正方体棱长为a,球的半径为R,则
∴a=2.
∵∴∴.
.
三、解答题
14、解:在Rt△中,
tan.
作平面ABC,垂足为H,则
在Rt△中sin
sin.
∴.
15、 解:因为,
所以四棱锥的底面是菱形,连结EF,则△EFB≌△
由于三棱锥EFB与三棱锥等底同高,
所以.
16、 (1)证明:∵△PAB是等边三角形,
∴PA=PB.
∵,PC=PC,
∴Rt△PBC≌Rt△PAC,∴AC=BC.
取AB的中点D,连接PD、CD,
则
又∵PD与CD交于D点,∴平面PDC,
∵平面PDC,∴.
(2)解:作垂足为E,连接AE.
∵Rt△PBC≌Rt△PAC,
∴.
由已知,平面平面PBC,
故.∵AB=PB,BE=BE,
∴Rt△AEB≌Rt△PEB.∴PE=AE=BE,
又PE=CE,∴BE=CE.
∴△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知PC=4,得AE=BE=2,
∴△AEB的面积
2=2,
∵平面AEB,
∴三棱锥P-ABC的体积.