- 1021.50 KB
- 2021-04-14 发布
广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（B）卷
数学（理）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、 选择题（60分，每题5分）
1.已知集合、为整数集，则集合中所有元素的和为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
3. 某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（ ）
高一
高二
高三
女生
373
m
n
男生
377
370
p
A. 8 B. 16 C. 28 D. 32
4．如图所示，程序框图的输出值（ ）
A． B． C． D．
5. 若双曲线 的渐近线方程是。则该双曲线的离心率为 ( )【来源：全,品…中&高*考+网】
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和为，若公差，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．10 B．9 C．6 D．5
7.已知变量、满足约束条件 ,那么的最小值为（ ）
A. B. 8 C. D. 10
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
俯视图
正视图
侧视图
3
6
4
2
A．12 B． 24 C．40 D．72
9.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递增
10.平行四边形中，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、 填空题（20分，每题5分）
13.若实数满足，则的最小值为 ．
14.在数列中，已知，，则其通项公式为 。
15. 三棱锥中，平面，，，，
若三棱錐的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
16.若，则 。
二、 解答题（70分）
17.（12分）
如图，是椭圆的两个顶点，，直线的斜率为．
（1） 求椭圆的方程；
（1） 设直线平行于，与轴分别交与点，与椭圆相交于．证明：的面积等于的面积；
18.（12分）
在中，的对边分别为，已知，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求周长的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图（1），在平行四边形中，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）设，．
（1)若，求的单调区间；
（2) 讨论在区间上的极值点个数；
21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
D
E
B
A
O
C
P
已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）．
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围
22.（10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集包含，求的取值范围.
数学（理）答案
一、1-12：CBBDC DBCDA BD
二、13. 14. 15. 16.
三、
17.（1）解：依题意，得，解得，所以椭圆的方程为；
（2）证明：由于，设直线的方程为，
将其代入，消去，整理得，设，，所以
证法一：记的面积是的面积是，
由，则，
因为，所以，
从而；
证法二：记的面积是，的面积是，
则线段的中点重合
因为，所以，
故线段的中点为，因为，
所以线段的中点坐标亦为，从而．
18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.
解法一：（Ⅰ）因为，，
所以，
即，
即.
因为，所以，
故，
由正弦定理得，
所以.
（Ⅱ）在中，，
由正弦定理得，，
所以，
所以
.
因为，所以.
所以当时，即时，取得最大值1.
故当时，周长取得最大值.
解法二：（Ⅰ）由，
得，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
整理得，
因为，所以，
所以.
（Ⅱ）在中，，
由余弦定理得，.
因为，
所以，即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故当时，周长取得最大值.
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.
证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形均为边长为2的菱形，
且.
在图（1）中，取中点，连结，
故是等边三角形，
所以，
同理可得，
又因为，
所以，
又因为，所以.
（Ⅱ）由已知得，，
所以，故，
如图（2），分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
得，.
设平面的法向量，
，，
由得，
令，得，，
所以平面的一个法向量.
设平面的法向量，
，，
由得，
令，得，，
所以平面的一个法向量为.
于是，
因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20．
解：（1）当时：，（）
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
（2）
令，故,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．
①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
综上：当或时：在上无极值
当时：在上有唯一极值点．
21．
解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ： 或 5分
（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为
为曲线上任意一点，
的取值范围是
22.选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，满分10分.
解法一：（Ⅰ）时，原不等式可化为，
当时，原不等式可化为，即，
此时， 不等式的解集为.
当时，原不等式化为，即.
此时，不等式的解集为.
当时，原不等式化为，即，
此时，不等式的解集为.
综上，原不等式的解集为.
（Ⅱ）不等式的解集包含，
等价于对恒成立，
即对恒成立，
所以，即对恒成立，
故的取值范围为.
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为，所以不等式可化为，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得.
故当时，原不等式的解集为，
由于不等式的解集包含，
所以，解得.
当时，原不等式的解集为，
由于不等式的解集包含，
所以，解得.
综上，的取值范围为.