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- 2021-04-14 发布
中牟县第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.关于的方程的一个根是，则另一根的虚部为（ ）
A. B. C. -2 D. 2
2.用反证法证明命题“至少有一个为0”时，应假设（ ）
A.没有一个为0 B.只有一个为0
C.至多有一个为0 D.两个都为0
3.下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的
内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
4.已知随机变量，则（ ）
（参考数据）
A.0.6826 B.0.3413 C.0.0026 D.0.4772
5.甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“四位同学去的景点不相同”，事件B=“甲同学独自去一个景点”，则P(A|B)=（ ）
A. B. C. D.
6.某运动员投篮命中率为0.6，重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为（ ）
A. 0.6，60 B. 3，12 C. 3，120 D. 3，1.2
7.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形
的组数是（ ）
A．208 B．204 C．200 D．196
8.（ ）
A. B. C. D.
9.在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对.
A．152 B．164 C．174 D．182
10.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
11.已知等式，
定义映射，则（ ）
A. B. C. D.
12.现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）
13.定积分 ．
14.的展开式中的系数为 ．
15.把13个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子中，若使放入盒子中的小球个数不小于盒子的编号数，则不同的放法种数为 ．
16.若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是___________.
三、 解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17.在二项式的展开式中
（1）若第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，．
19.(本小题满分12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号和随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现和之一，其中出现的概率为，出现的概率为，若第次出现，则记；若第次出现，则记，记．
(1)若，求的分布列及数学期望；
(2)若，，求且的概率．
20.(本小题满分12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式，参考数据：，.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
21．(本小题满分12分）
已知函数,其中为常数.
（1）当时，求的最大值，并判断方程是否有实数解；
（2）若在区间上的最大值为-3，求的值.
22.(本小题满分12分）
设函数
(1)求函数的极值点;
(2)当时，对，是否有不等式恒成立，并说明理由.
试题答案
一．选择题：
1-6 DACDAC 7-12 CACBCD
二．填空题：
13. 1 14. -6480 15. 20 16.
三．解答题：
17.（1）由题意得解得n=7或n=14
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，且
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8且
（2）由
设第r+1项系数最大，则有
18.解：
（1）第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知．
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19. 解：（1）由题意得可取-3，-1,1,3
,,
,
故的分布列如下：
-3
-1
1
3
(2) 当=2时，即前八秒出现“O”5次和“K”3次，又已知,
若第一、三秒出现“O”，则其余六秒可任意出现“O”三次；若第一、二秒出现“O”，则第三秒出现“K”，则后五秒可任出现“O”三次，故概率为：
20.解：（1）由已知数据可得，
所以，
，
，
所以相关系数.
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）.
那么.
所以回归方程为.
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.
21.解：（1）.
当时，，.
当时，；当时，.
∴在上是增函数，在上是减函数，.∴.
令，，令，得.
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
∴，∴，∴，即，
∴方程没有实数解.
（2）∵，，∴.
①若，则，在上为增函数，∴不合题意.
②若，则由，即，由，即.
从而在上为增函数，在上为减函数，∴.
令，则，∴，即.
∵，∴为所求.
22.解：(1)∵ ，∴的定义域为
，当时，，在 上无极值点.
当，令、随的变化情况如下表：
x
+
0
-
递增
极大值
递减
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.
(2)证明：由（Ⅰ）可知，当p>0时，f(x)在处取得极大值，此极大值也是最大值，当p=1时，f(x)=0，即,当且仅当x=0时取等.
易得： 又时，
假设不等式恒成立，则有即
令
当时，时增函数，
故当时，对，不等式恒成立.