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- 2021-04-14 发布
第66课 抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质
√
1．抛物线的几何性质
(1)焦半径：
抛物线上一点到焦点的距离称为焦半径．
y2＝2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋x0，
y2＝－2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－x0，
x2＝2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋y0，
x2＝－2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－y0.
(2)焦点弦长：
已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下性质：
①AB＝x1＋x2＋p或AB＝(α为弦AB的倾斜角)；
②y1y2＝－p2；
③x1x2＝.
2．直线与抛物线的位置关系
(1)位置关系的判定：
联立直线l：y＝kx＋m和抛物线y2＝2px(p>0)消y整理得：
k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
当k≠0时，
①Δ>0⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点；
②Δ＝0⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点；
③Δ<0⇔直线与抛物线相离，没有公共交点．
当k＝0时，则直线是抛物线的对称轴或与对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点．
(2)弦长公式：
若直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切．( )
(2)过点(0,1)且与抛物线y2＝x相切的直线有且只有一条．( )
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的方程为____________．
y2＝4x [由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，由⇒x2－3px＋＝0，
所以AB＝＝8⇒p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.]
3．如果双曲线－＝1的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为____________．
[以双曲线的渐近线y＝x为例．若与抛物线y＝x2＋1相切，联立方程组得x＝x2＋1，即x2－x＋1＝0，令Δ＝0，得2＝4，所以e＝＝.]
4．(教材改编)曲线－x＝0上一点P到直线y＝x＋3的最短距离为____________．
[设p(x，y)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝，所以dmin＝.]
5．(2017·南京模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足AF＝3FB，则弦AB的中点到准线的距离为____________．
[如图，设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝3m，BB1＝m，在△ABC中，AC＝2m，AB＝4m，kAB＝，
则直线AB的方程为y＝(x－1)，
与抛物线的方程联立消去y，得3x2－10x＋3＝0，
所以AB的中点到准线的距离为＋1＝＋1＝.]
直线与抛物线的位置关系
角度1 直线与抛物线的交点问题
(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON
并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，
故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．
2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．
[变式训练1] (2016·江苏高考改编)如图661，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．
图661
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
由消去x，得y2＋2y－2b＝0.(*)
因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1≠y2.
从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**)
因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.
又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(**)式．
故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).
与抛物线弦长或中点有关的问题
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段
AB的中点为P，且OP＝PB，求△FAB的面积. 【导学号：62172350】
[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，
∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·FM·|y1－y2|
＝3＝24.
[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．
3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
[变式训练2] 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10或说明中点在曲线内部．
3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．
课时分层训练(十)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
[解] 由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，
且AN＝.
∵ON＝3，∴OA＝＝2，
∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝y的焦点坐标为，
准线方程为y＝－.
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，
准线方程为y＝.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
[解] (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，
得y2－2pmy＋4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
则x1x2＝＝4，
因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M，
则AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①
又AB＝|y1－y2|＝.②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±，
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
3．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由. 【导学号：62172352】
[解] (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
所以RQ是线段FP的垂直平分线．
因为|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，所以PQ＝QF.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．
(2)弦长TS为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y
轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝MA＝，
则TS＝2
＝2，
因为点M在曲线C上，所以x0＝，
所以TS＝2＝2，是定值．
4．(2017·苏北四市摸底)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.
图663
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
[解] (1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.
所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．
由得x2－4kx＋4＝0.
则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.
所以kA′B＝＝＝.
于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．
所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.
当x＝0时，y＝1，
所以直线A′B过定点(0,1)．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·泰州模拟)如图664，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
图664
(1)求抛物线的方程；
(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值.
【导学号：62172353】
[解] (1)由已知条件可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．
因为点P(2,1)在抛物线上，
所以22＝2p·1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是x2＝4y.
(2)由题知kAP＋kBP＝0，
所以＋＝0，
所以＋＝0，
所以＋＝0，
所以x1＋x2＝－4，
所以kAB＝＝＝＝－1，所以直线AB的斜率为定值．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
[解] (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为＝2 ，所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.
因为2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
3．(2017·扬州模拟)如图665，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．
图665
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，直线AM与抛物线的另一个交点为B
，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．
[解] (1)将点A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.
将点P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2.
因为t<0，所以t＝－2.
(2)依题意知点M的坐标为(2,0)，
直线AM的方程为y＝－x＋.
联立解得B，
所以k1＝－，k2＝－2.
由k1＋k2＝2k3，得k3＝－，
从而直线PC的方程为y＝－x＋，
联立解得C.
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解] 由题意知F，
设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，
则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝|b－a|FD＝|b－a|，S△PQF＝.
由题意可得|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.
所以，所求的轨迹方程为y2＝x－1.