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- 2021-04-14 发布
2017年高考全国统一考试全真模拟试题（二）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，分别在上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）对于命题，使得，则，均有；
（2）命题“已知，若，则或”是真命题；
（3）回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；
（4）是直线与直线互相垂直的充要条件.
A． B． C. D．
5.如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和
，则的值为（ ）
A． B． C. D．
6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A． B． C. D．
7.已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A． B． C. D．
8.若实数满足则的最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C. D．非上述答案
9.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C.若，则 D．若，则
10.已知数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C. D．
11.若曲线的焦点恰好是曲线的右焦点，且与交点的连线过点，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在平行四边形中，已知，则四边形的面积为 ．
14.在等差数列中，，其前项的和为，若，则 ．
15.如图为某几何体的三视图，则其体积为 ．
16.有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算式》方田章源田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如中“...”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地可以把循环小数化为分数，把化为分数的结果为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知，成等差数列，且，求的值.
18. 某志愿者到山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如下（注：图中幸福指数低于，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于，说明孩子幸福感强）.
（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？
幸福感强
幸福感弱
合计
留守儿童
非留守儿童
合计
（2）从个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取人，又在这人中随机抽取人进行家访，求这个学生中恰有一人幸福感强的概率.
参考公式：.
附表：
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，平面底面，为的中点，是棱的中点,.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20.已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.
21. 已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的单调区间；
（2）设函数，证明时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知和是任意非零实数.
（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2017年高考全国统一考试全真模拟试题（二）
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:AAABA 6-10:CCCDD 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，
由得，，
故的单调递增区间是.
（2），，，
于是，故.
由成等差数列得：，
由得：，
由余弦定理得：，
于是，.
18.解：（1）
幸福感强
幸福感弱
合计
留守儿童
非留守儿童
合计
∴，
∴有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关.
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子人，记作；幸福感弱的孩子人，记作.
“抽取人”包含的基本事件有共个，
事件：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有个，
∴.
19.解：（1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形.
连接交于，连接，则，
又平面，平面，所以平面.
（2），
由于平面底面，底面，
所以是三棱锥的高，且，
由（1）知是三棱锥的高，，
所以，则.
20.解：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，
因为点在椭圆上，∴，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线与圆相切，得，即,
设，
由消去，整理得，
由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
所以，
，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，解得.
21.解：（1）由题得，函数的定义域为，，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以解得.
令，得，
当时，，在区间内单调递减；
当时，，在区间内单调递增.
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）得，.
由，得，即.
要证，需证，即证，
设，则要证，等价于证：.
令，则，
∴在区间内单调递增，,
即，故.
22.解：（1）由已知得曲线的直角坐标方程是，
所以曲线的极坐标方程是.
根据已知曲线的参数方程伸缩变换得到曲线的参数方程是（为参数）.
（2）设，由已知得直线的直角坐标方程是，
即，所以点到直线的距离
，
当即时，，此时点的坐标是，
所以曲线上的一点到直线的距离最小，最小值是.
23.解：（1）∵对于任意非零实数和恒成立，
当且仅当时取等号，
∴的最小值等于.
（2）∵的最小值，
由（1）可知的最小值等于，
实数的取值范围即为不等式的解，
解不等式得，即的取值范围为.