2019-2020学年山东省滨州市十二校联考高二上学期期中考试数学试题（解析版） 15页

2019-2020 学年山东省滨州市十二校联考高二上学期期中考 试数学试题 一、单选题 1．若命题 ， ，则命题 的否定：（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】根据特称命题、全称命题的概念直接求解即可. 【详解】 命题 的否定: ， . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查全称命题的否定，属基础题. 2．已知向量 ， ，则向量 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据空间向量的减法的坐标运算直接求解. 【详解】 由已知可得 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查空间向量的减法的坐标运算，属基础题. 3．某工厂生产的产品合格率是 99.99%，这说明　(　　) A．该厂生产的 10 000 件产品中不合格的产品一定有 1 件 : 0, 2q x π ∀ ∈   tan sinx x> q 0 0, 2x π ∃ ∈   0 0tan sinx x≥ 0 0, 2x π ∃ ∈   0 0tan sinx x> 0 0, 2x π ∃ ∈   0 0tan sinx x≤ 0 0, 2x π ∃ ∈   0 0tan sinx x≠ q 0 0, 2x π ∃ ∈   0 0tan sinx x≤ (1, 2,1)a = − ( 1,2, 1)a b− = − − b = (2, 4,2)− ( 2,4, 2)− − ( 2,0, 2)− − (2,1, 3)− ( ) ( ) ( )1, 2,1 1,2, 1 2, 4,2b = − − − − = − B．该厂生产的 10 000 件产品中合格的产品一定有 9 999 件 C．合格率是 99.99%，很高，说明该厂生产的 10 000 件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是 99.99% 【答案】D 【解析】合格率是 99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的 概率. 故选 D 4．一批灯泡 只，其中 、 、 的数目之比是 ，现用分层抽样 的方法产生一个容量为 的样本，则三种灯泡依次抽取的个数为（ ） A．20，15，5 B．4，3，1 C．16，12，4 D．8，6，2 【答案】A 【解析】按分层抽样的概念直接计算即可. 【详解】 由已知可得， 的灯泡抽取的个数为 ， 的灯泡抽取的个数为 ， 的灯泡抽取的个数为 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查分层抽样问题，属常规考题. 5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互 斥事件的有（ ） ①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男 生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生. A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【解析】按互斥事件的概念逐个判断即可. 【详解】 由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题. 400 20W 40W 60W 4 :3:1 40 20W 440 208 × = 40W 340 158 × = 60W 140 58 × = 6．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“ ， ”为真命题可转化为 恒成立，可得 ，根据充分必要条件可选出答案. 【详解】 若“ ， ”为真命题，可得 恒成立 只需 ， 所以 时， ， ”为真命题， “ ， ”为真命题时推出 ， 故 是命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件， 选 A. 【点睛】 本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 7 ． 过 抛 物 线 的 焦 点 作 直 线 交 于 两 点 ， 若 ，则 （ ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解析】试题分析：由题意 ，所以 ．故选 B． 【考点】抛物线的焦点弦长． 8．设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ 1a ≤ 2a ≤ 3a ≤ 4a ≤ [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ [ ]22 , 1,2x a x≥ ∈ 2a ≤ [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ [ ]22 , 1,2x a x≥ ∈ 2 min(2 ) 2a x≤ = 1a ≤ [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ 2a ≤ 1a ≤ [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ 2: 12C y x= l C ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 6x x+ = AB = 6p = 1 2 6 6 12AB x x p= + + = + = 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )0,2P b 1 2,F F 3y x= ± 21 7y x= ± 3 3y x= ± 21 3y x= ± ( )0,2P b ( ) ( )1 2,0 , ,0F c F c− 2 2 1 4F P c b= + ( )1 2, , 0,2F F P b ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 ， 故选 C. 9．在样本的频率分布直方图中，一共有 个小矩形，若第 个小矩形的面积等于其余 个小矩形面积之和的 ，且样本容量是 ，则第 组的频数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设第 个小矩形的面积为 ，然后根据频率分布直方图中， 个小矩形的面积 之和为 及已知可得 ，求出 ，则频数易求. 【详解】 设第 个小矩形的面积为 ，因为频率分布直方图中， 个小矩形的面积之和为 ，且 第 个小矩形的面积等于其余 个小矩形面积之和的 ，所以 ，解之 得 ，所以第 组的频数为 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题. 10．设 是双曲线 上一点， ， 分别是双曲线左、右两个焦点，若 ，则 等于(　　) A．1 B．17 C．1 或 17 D．以上答案均不对 【答案】B 【解析】根据双曲线定义直接求解. 【详解】 由双曲线 有 .则 . 由题意知 ，所以 点在双曲线的左支, 则由双曲线的定义有 ，故 .选 . 2 2 2 2 24 2 , 4 2c b c c b c∴ + = ∴ + = ( )2 2 2 24 2c c a c∴ + − = 2 23 4c a∴ = 2 2 2 33 3 4 , 3 ba b a a ∴ + = = ∴ by xa = ± 3 3y x= ± n 3 ( )1n − 1 3 240 3 40 48 60 80 3 x n 1 ( )1 13x x= − x 3 x n 1 3 ( )1n − 1 3 ( )1 13x x= − 1 4x = 3 1240 604 × = P 2 2 116 20 x y− = 1F 2F 1 9PF = 2PF 2 2 116 20 x y− = 4 2 5a b= =， 16 20 6c = + = 1 9 10PF a c= < + = P 2 1 2 8PF PF a− = = 2 1 8 17PF PF= + = B 【点睛】 本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离 的取值范围而错选 . 二、多选题 11．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为 ， ， ，其成本构成如 图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ） A．成本最大的企业是丙企业 B．费用支出最高的企业是丙企业 C．支付工资最少的企业是乙企业 D．材料成本最高的企业是丙企业 【答案】ABD 【解析】分别计算出甲、乙、丙三家企业产品的成本、材料成本、支付工资、费用支出 即可. 【详解】 由题意甲企业产品的成本为 ，其中材料成本 、支付工资 、费用支出 ；乙企业产品的成本为 ，其中材料成本 、支付工资 、费用支出 ；丙企业产品 的成本为 ，其中材料成本 、支付工资 、费用支出 .所以成本最大的企业是丙企业， 费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是 丙企业，A、B、D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】 本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题. 12．为了了解参加运动会的 名运动员的年龄情况，从中抽取了 名运动员的年 龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ） A． 名运动员是总体； B．所抽取的 名运动员是一个样本； C．样本容量为 ； D．每个运动员被抽到的机会相等. 【答案】CD 【解析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被 C 10000 12000 15000 10000 10000 60% 6000× = 10000 35% 3500× = 500 12000 12000 53% 6360× = 12000 30% 3600× = 2040 15000 15000 60% 9000× = 15000 25% 3750× = 15000 15% 2250× = 2000 20 2000 20 20 抽到的机会均等即可求解. 【详解】 由已知可得， 名运动员的年龄是总体， 名运动员的年龄是样本，总体容量为 ，样本容量为 ，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为 ，所以 A、 B 错误，C、D 正确. 故选：CD. 【点睛】 本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题. 13．设集合 ， ，分别从集合 和 中随机取一个元素 与 .记“点 落在直线 上”为事件 ，若事件 的 概率最大，则 的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件 、事件 、事件 、事件 、 事件 、事件 所包含基本事件的个数及相应的概率即可. 【详解】 由题意，点 的所有可能情况为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个基本事件，则事件 ：点 落在直线 包含其中 共 个基本事件，所以 ；事件 ： 点 落在直线 包含其中 、 共 个基本事件，所以 ；事件 ：点 落在直线 包含其中 、 、 共 个基本事件，所以 ；事件 ：点 落在直线 包含其中 、 、 共 个基本事件，所以 ；事件 ：点 落在直 线 包含其中 、 共 个基本事件，所以 ；事件 ：点 落在直线 包含其中 共 个基本事件，所以 .综上可 得，当 或 时， . 故选：BC. 2000 20 2000 20 1 100 {2,3,4}M = {1,2,3,4}N = M N m n ( , )P m n x y k+ = ( )*3 8,kA k k N≤ ≤ ∈ kA k 4 5 6 7 3A 4A 5A 6A 7A 8A ( , )P m n (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 12 3A ( , )P m n 3x y+ = (2,1) 1 ( )3 1 12P A = 4A ( , )P m n 4x y+ = (2,2) (3,1) 2 ( )4 1 6P A = 5A ( , )P m n 5x y+ = (2,3) (3,2) (4,1) 3 ( )5 1 4P A = 6A ( , )P m n 6x y+ = (2,4) (3,3) (4,2) 3 ( )6 1 4P A = 7A ( , )P m n 7x y+ = (3,4) (4,3) 2 ( )7 1 6P A = 8A ( , )P m n 8x y+ = (4,4) 1 ( )8 1 12P A = 5k = 6 ( ) ( ) ( )5 6max 1 4kP A P A P A= = = 【点睛】 本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题. 三、填空题 14．用一组样本数据 8， ，10，11，9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均 数为 10，则总体标准差 【答案】 【解析】根据平均数公式，可以求出 ，再利用标准差公式求出标准差. 【详解】 因为样本数据 8， ，10，11，9 的平均数为 10，所以 ， 因此样本的标准差为 ， 由题意可知用样本来估计总体的标准差，所以 . 【点睛】 本题考查了用样本估计总体的标准差，考查了平均数公式、标准差公式，考查了数学运 算能力. 15．若 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是______________． 【答案】 【解析】根据条件得到 ，再根据 解得离心率取值范围. 【详解】 双曲线 的离心率 根据 ，知 故答案为： 【点睛】 本题考查了离心率的取值范围，确定关系式 是解题的关键. 16．等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 的准线交于 A， B 两点， ；则 C 的实轴长为______． x s = x x 8 10 11 9 10 125 x x+ + + + = Þ = 2 2 2 2 2(8 10) (12 10) (10 10) (11 10) (9 10) 25 − + − + − + − + − = 2s = 1a > 2 2 2 1x ya − = e (1, 2) 2 11e a = + 1a > 2 2 2 1x ya − = 2 2 1 11c ae a a a += = = + 1a > 1 2e< < (1, 2) 2 11e a = + 2y 16x= AB 4 3= 【答案】 【解析】【详解】 设等轴双曲线方程为 ，由题意可得抛物线的准线为 ，由 ，得 ，所以不妨设点 ，因为点 在等轴双曲线上， 所以 ，所以等轴双曲线的方程为 ，即 ，从而实轴长 , 故答案为 4. 【考点】双曲线、抛物线的有关概念和基本性质. 17．在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 ，与椭圆交于 ， 两点，点 在 的右侧，且 ，则该椭圆的离心 率是________. 【答案】 【解析】先求出 ， 两点坐标，再由 化简即可求得椭圆的离心率. 【详解】 由 解之得 或 ，因为点 在 的右侧，所以 、 ,又 ，所以 、 ，因为 ，所以 ，即 ，将 代入并化简可得 ，即 ， . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查求椭圆的离心率的问题，属常规考题. 四、解答题 ( )2 2 0mx y m− = > ( )4,2 3A − A 2 4a = xoy F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 by = B C B C 90BFC °∠ = 6 3 B C 0FB FB⋅ =  2 2 2 2 2 1 by x y a b  =  + = 2 3 2 by ax  =  = 2 3 2 by ax  =  = − B C 3 ,2 2 a bB       3 ,2 2 a bC  −    ( ),0F c 3 ,2 2 a bFB c  = −     3 ,2 2 a bFC c  = − −     90BFC °∠ = 0FB FB⋅ =  2 2 23 1 04 4c a b− + = 2 2 2b a c= − 2 23 2c a= 23 2e = 6 3e = 6 3 18．己知命题 ：“关于 的方程 有实根”，若 为假命题的充分不必要 条件为 ，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】先由 为假命题得出 的范围，再根据 是 为假命题的充分不必要 条件列出关于 的不等式解之即可. 【详解】 由方程有实数根可得 ，即 ， 由 为假命题得 ，根据 是 为假命题的充分不必要条件，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查由充分条件或必要条件求参数的取值范围问题，属常规考题. 19．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想 是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 .现从不超过 的素数 中，随机选取两个不同的数（两个数无序）.（注：不超过 的素数有 ， ， ， ， ， ） （1）列举出满足条件的所有基本事件； （2）求“选取的两个数之和等于 ”事件发生的概率. 【答案】（1） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；（2） . 【解析】（1）直接列举即可；（2）先求出选取的两个数之和等于 所包含基本事件的 个数，再按古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】 （1）不超过 的素数有 ， ， ， ， ， 共 个，随机选取两个不同的数，基 本事件总数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有 个基本事件； （2）记“选取两个数之和等于 ”为事件 ， 因为 ，所以其和等于 的有 个基本事件， 故概率为 . p x 2 4 0x x a− + = p 3 1a m> + m (1, )+∞ p a 3 1a m> + p m 16 4 0a∆ = − ≥ 4a ≤ p 4a > 3 1a m> + p 3 1 4m + > 1m > m (1, )+∞ 2 16 3 13= + 16 16 2 3 5 7 11 13 16 (2,3) (2,5) (2,7) (2,11) (2,13) (3,5) (3,7) (3,11) (3,13) (5,7) (5,11) (5,13) (7,11) (7,13) (11,13) 2 15 16 16 2 3 5 7 11 13 6 (2,3) (2,5) (2,7) (2,11) (2,13) (3,5) (3,7) (3,11) (3,13) (5,7) (5,11) (5,13) (7,11) (7,13) (11,13) 15 16 A 3 13 5 11 16+ = + = 16 2 2( ) 15P A = 【点睛】 本题主要考查古典概型的问题，属基础题. 20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进 行调查，通过抽样，获得某年 100 为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 【答案】(1) ； (2)36000；（3） . 【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分 析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有 频率之和为 1，计算出 a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用 水量不低于 3 吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将 前 5 组的频率之和与前 4 组的频率之和进行比较，得出 2≤x<2.5，再估计月均用水量的 中位数. 【详解】 （Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为 0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为 0.08， 0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由 1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a， 解得 a=0.30. （Ⅱ）由（Ⅰ）100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为 x 吨. 因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以 2≤x<2.5. 由 0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问 题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第 n 个小矩形的面积就是相应组的频率， 所有小矩形的面积之和为 1，这是解题的关键，也是识图的基础． 21．已知：如图，长方体 中， 、 分别是棱 ， 上的点， ，且 . （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出 、 的坐标， 然后由 计算可得；（2）先求出 的法向量 及平面 的法向量 的坐标，然后计算 即可求出二面角 的 正弦值. 【详解】 如图所示，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC 1CC 2CF AB CE= = 1: : 1: 2: 4AB AD AA = EF 1A D 1A ED F− − 3 5 5 3 A EF 1A D 1 1 1 cos , | | EF A DEF A D EF A D ⋅〈 〉 = ⋅      EFD u 1A ED v cos , | | u vu v u v ⋅〈 〉 = ⋅      1A ED F− − A 设 ，依题意得， ， ， ， ， 易得 ， ，于是 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ； （2）设平面 的法向量 ，则 ， 即 ，不妨令 ，可得 ， 同理设平面 的法向量 ，则 ， ∵ ， ，即 ， 不妨令 ，可得 ， 于是 ，从而 ， 所以二面角 的正弦值为 . 【点睛】 本题主要考查利用空间向量的知识求线线角、面面角的问题，属常规考题. 1AB = (0,2,0)D (1,2,1)F 1(0,0,4)A 31, ,02E      10, ,12EF  =     1 (0,2, 4)A D = − 1 1 1 3 3cos , 5| | 5 204 EF A DEF A D EF A D ⋅ −〈 〉 = = = ⋅      EF 1A D 3 5 EFD ( , , )u x y z= 0 0 u EF u ED  ⋅ =  ⋅ =   1 02 1 02 y z x y  + = − + = 1x = (1,2, 1)u = − 1A ED ( )2 2 2, ,v x y z= 1 0 0 v A D v ED  ⋅ =  ⋅ =   11, ,02ED  = −    1 (0,2, 4)A D = − 2 2 2 2 2 4 0 1 02 y z x y − =− + = 2 1x = (1,2,1)v = 1 1 2 2 ( 1) 1 4 2cos , | | 6 31 4 1 1 4 1 u vu v u v ⋅ × + × + − ×〈 〉 = = = =⋅ + + ⋅ + +      5sin , 3u v〈 〉 =  1A ED F− − 5 3 22．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：t) 的影响.该公司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 x(万元) 和年销售量 y(单位：t)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统 计量的值. (1)根据表中数据建立年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程； (2)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ，根据(1)中的结果 回答下列问题： ①当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润的预报值是多少? ②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据： . 【答案】(1) ；（2）①销售量为 ，年利润 2.25；②该公司应该投 入 5 万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 【解析】（1）由题所给数据及参考公式，计算出回归方程； （2）将（1）所得回归方程代入函数式得到年利润与年宣传费之间的函数关系，利用函 数知识分析。 （3）年利润与年宣传费的比值为 ，求出 的解析式，利用基本不等式求最值。 【详解】 （1）由题意 ， ， 20.05 1.85z y x= − − ˆˆ ˆy bx a= + 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ˆ ˆˆ, n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x = = = = − − − = = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ 5 5 2 1 1 88.5, 90i i i i i x y x = = = =∑ ∑ 0.85 .6ˆ 0y x= + 9.1 w w 2 4 3 45 5 6x + + + += = 2.5 4.5 3 6 45 4y + + + += = 2 1 2 2 2 1 88.5 5 4 0.8590 5 4 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx = = − − ×∴ = = =− ×− ∑ ∑ 4 0.85 4 0ˆ .6ˆa y bx= − = − × = （2）①由（1）得 当 时 即当年宣传费为 10 万元时，年销售量为 ，年利润的预报值为 。 ②令年利润与年宣传费的比值为 则 当且仅当 即 时取最大值，故该公司应该投入 5 万元宣传费，才能使 得年利润与年宣传费的比值最大. 【点睛】 本题考查了求线性回归方程，利用基本不等式求最值，属于基础题． 23．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 过点 ，焦点为 ， ， 点 ， . （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上一点，且 点不在坐标轴上，已知直线 与 轴交于点 ， 直线 与 轴交于点 .求证： 为定值，并求出该定值. 【答案】（1） ；（2）证明见解析， . 【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，然后由 解之 即可；（2）设 ，求出直线 的方程，进而求出点 的坐标及 ，同 时求出直线 的方程，进而求出点 的坐标及 ，最后再计算并化简 即可. 【详解】 （1）因为椭圆 的焦点为 ， ， 0.8 0.ˆ 5 6y x∴ = + 2 20.05 1.85 0.05 0.85 1.25z y x x x= +− − = − − 10x = 0.85 10 0.ˆ 6 9.1y∴ = × + = 20.05 10 0.85 10 1.25 2.25z = − × × − =+ 9.1 2.25 w 1.250.05 0.85w x x = +− − ( )0x > 1.25 1.25 1.250.05 0.85 0.05 0.85 2 0.05 0.85 0.35w x x xx x x  = − − = − + + ≤ − + =  +   1.250.05x x = 5x = xoy C 13, 2      ( 3,0)− ( 3,0) ( ,0)A a (0, )B b C P C P PA y M PB x N | | | |AN BM⋅ 2 2 14 x y+ = 4 C 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 2 2 2 2 3 1 14 3 a b a b  + =  − = ( )0 0,P x y PA M | |BM PB N | |AN | | | |AN BM⋅ C 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F 可设椭圆 的方程为 .又点 在椭圆 上， 所以 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为 . （2）设椭圆上点 ，则 . 由于 点不在坐标轴上，直线 和直线 存在斜率， 则直线 ，令 ，得 ，∴ ， 直线 ，令 ，得 ，∴ ， 所以 ， ∵ ，∴ 代入上式得 ， 故 为定值 . 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程的求解及椭圆中的定值问题，试题综合性强，对计算能力 要求高，属中等难度题. C 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 13, 2      C 2 2 2 2 3 1 14 3 a b a b  + =  − = 2 2 4 1 a b  =  = C 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y 2 20 0 14 x y+ = P PA PB 0 0 : ( 2)2 yPA y xx = −− 0x = 0 0 2 2M yy x −= − 0 0 2| | 1 2 yBM x = + − 0 0 1: 1yPB y xx −= + 0y = 0 0 1N xx y −= − 0 0 | | 2 1 xAN y = + − 0 0 0 0 2| | | | 2 11 2 x yAN BM y x ⋅ = + ⋅ +− − 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 8 1 2 2 2 x y x y x y x y x y y x x y y x + − + − + + + − −= ⋅ =− − − − + 2 20 0 14 x y+ = 2 2 0 04 4x y+ = ( )0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 24 4 8 8| | | | 42 2 2 2 x y x yx y x yAN BM x y x y x y x y − − +− − +⋅ = = =− − + − − + | | | |AN BM⋅ 4