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- 2021-04-14 发布
理数
一、单选题（每题5分，共60分）
1．设集合,,则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
3．若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A．35 B．36 C．45 D．54
5．若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量，，则（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.68
7．已知为实数，则“”是“关于x的不等式有解“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①③ D．②④
11．已知双曲线的左焦点在圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知实数满足约束条件,则最小值为 .
14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.
15．若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为k，则二项式的展开式中含项的系数为 ．
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为
三、解答题(17题10分，其余各题均为12分，共70分)
17．（12分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（12分）在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
19．（12分）“互联网”是“智慧城市”的重要内士，市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费．为了解免费在市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了
人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：
经常使用免费WiFi
偶尔或不用免费WiFi
合计
45岁及以下
70
30
100
45岁以上
60
40
100
合计
130
70
200
（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关；
（2）将频率视为概率，现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次．记被抽取的人中“偶尔或不用免费”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．
附：，其中．
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若
，求四边形面积的最大值．
21．（12分）已知函数 (e为自然对数的底数)在处的切线方程为
(1)求实数的值;
(2)若存在不相等的实数使得求证:x1+x2>0
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：＝．
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于不同的两点、，若，求的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．（本小题满分10分）
设，
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式满足对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
DBDCB DADCA CB
-5
17.由，其中，得，，则，.由
，解得，即…………………..2分
（1）若解得，若为真，则同时为真，
即，解得，∴实数的取值范围…………………………6分
（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
∴，即，解得………………………………………12分
18.（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
,为中点
AE//BC，且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点
又F为AD中点
，
，
//平面………………………………………3分
（Ⅱ）由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形可得//
为即
，
侧面底面侧面底面平面
，
，
.………………………………………7分
（Ⅲ）取中点，连，
，，
平面，
的平面角，
又，
，
所以二面角的余弦值为．………………………………………12分
19.（1）由列联表可知，
因为，所以没有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关．………………………………………4分
（2）由题意可知，的所有可能取值为，
，，
，．
所以的分布列为
X
0
1
2
3
P
，………………………………………12分
20.（1）依题意，，
因为，所以，所以椭圆方程为；………………………………………4分
（2）设 ，则由，可得，
即，，，
又因为，所以四边形是平行四边形，
设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.………………………………………12分
21.解：因为f(x)=,所以f '(x)=.
(1)因为函数f(x)在x=-1处的切线方程为ex-y+e=0,所以,所以,
解得 ………………………………………5分
(2)由(1)可知,f '(x)=-.
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f '(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
1
单调递减
不妨设x10.
记g(x)=f(-x)-f(x),即g(x)=(1-x)ex-,所以g'(x)=-ex+(1-x)ex+=-xex+.………………………………………9分
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
g'(x)
-
0
-
g(x)
单调递减
0
单调递减
所以g(x1)>g(0)=0,故f(-x1)>f(x1).所以f(-x1)>f(x2).
因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以-x10.………………………………………12分
22. 解：（Ⅰ）直线l普通方程为，
曲线C的极坐标方程为，则，
∵，即为曲线C的普通方程. ………………………………………5分
（Ⅱ）将(为参数，)代入曲线C：
∴
，则 ………………………………………10分
23.解：（1）根据题意可得，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
综上，不等式的解集为．………………………………………5分
（2）不等式等价于，
因为，
当且仅当时取等号，因为，所以，
解得或，故实数的取值范围为．………………………………………10分