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- 2021-04-14 发布
2017学年度高二数学下期期未质量检测
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若，其中为虚数单位，则复数
A. B. C. D.
2.对任意实数，在下列命题中，真命题是
A. 是的必要条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的充分条件
3.若实数满足，则的最小值是
A. 18 B. 6 C. D.
4.在中，，则的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知是抛物线的焦点，A,B是该抛物线上的两点，,则线段的中点到轴的距离为
A. B. 1 C. D.
6. 已知各项均为正数的等比数列中，，则
A. B. 7 C. 6 D.
7.设满足约束条件，则的最大值为
A. 10 B. 2 C. 3 D. 8
8.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是
A. 1 B. C.2 D.
9.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题中为假命题的是
A. B.
C. D.
10.设函数，则
A.是函数的极大值点 B. 是函数的极小值点
C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极小值点
11.甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D.345种
12.已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A,B两点，若，则
A. 1 B. C. D.2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为 .
14.已知随机变量服从正态分布，且，则 .
15.的二项展开式中的系数是 .（用数字作答）
16.若规定的子集为的第个子集，其中，则E的第211个子集是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）已知为等差数列，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）甲乙两个篮球运动员互不影响的同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为
（1）求乙投球的命中率；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数为X,求X的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）
如图，四边形为正方形，平面，
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，短轴上的两个顶点为A,B（A在B的上方），且四边形的面积为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，直线与直线交于点，求证：三点共线.
21.（本题满分12分）设函数，其中
（1）求的单调区间；
（2）设的最小值为，证明：.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）将直线（为参数）化为极坐标方程；
（2）设P是（1）中直线上的动点，定点，B是曲线上的动点，求的最小值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）解不等式；
（2）设对任意的成立，求的最大值及相应的.
2017学年度高二数学下期期未质量检测
理科数学答案
一．选择题：
(1)A (2)B (3)B (4)C (5)C (6)A (7)D (8)A (9)C (10)D (11)D (12)B
二．填空题：
(13) (14) (15) 40 (16)
三．解答题：
(17)（本小题满分12分）
解：（I）由已知条件可得， ……………3分
解之得，， ……………4分
所以，． ……………6分
（Ⅱ）由可得，，设数列的前项和为.
则， ……………7分
∴ ， ……………9分
以上二式相减得
， ……………11分
所以，. ……………12分
(18)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得， ……………3分
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为． ……………5分
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，，，．
X可能的取值为0，1，2，3． ……………6分
又， ……………7分
，
……………8分
， ……………9分
． ……………10分
X的分布列为：
X
……………11分
X的数学期望． ……………12分
(19)（本小题满分12分）
解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴
建立空间直角坐标系D—xyz． ……………1分
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）．
……………2分
则
所以 ……………3分
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC．故PQ⊥平面DCQ． ……………5分
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ． …………6分
（注：按传统解法，每给出一个线面垂直得2分，直到给出面面垂直得6分）
（II）依题意有B（1，0，1），，
设是平面PBC的法向量，则
即因此可取 ……………8分
设m是平面PBQ的法向量，则
同理可取 ……………9分
所以 ……………11分
故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分
(20)（本小题满分12分）
解：（I）∵椭圆C的离心率，∴，因此四边形AF1BF2是正方形．……2分
∴，． ……………4分
∴椭圆C的方程为． ……………5分
（II）将已知直线代入椭圆方程化简得：， ……………6分
，解得：．
由韦达定理得：①，，② ……………7分
设，，，
方程为：，则， ……………8分
，， ……………9分
欲证三点共线，只需证，共线，
即成立，化简得：，
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证． ……………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得函数的定义域为，而． ……2分
∵，，∴当时，，当时，．…4分
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是． ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，的最小值为，． 6分
要证明，只须证明成立． ………7分
设，． ………8分
则 ，
∴在区间上是增函数，∴，即．
取得到成立． ……………10分
设，，同理可证．
取得到成立．因此，． ……………12分
(22)（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
解：（Ⅰ）消去参数t得， 即，
∴直线l的极坐标方程为．
（答案也可以化为） ……5分
（Ⅱ）∵的直角坐标为，曲线是圆：（C为圆心）．∴．
∴的最小值为（这时P是直线l与直线AC的交点）……10分
(23)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当x<0时，原不等式可化为，解得，又∵，∴不存在；
当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴
；
当时，原不等式可化为，解得，又∵，∴；
综上，原不等式的解为． …… 5分
（Ⅱ）由得，
∴，
∴的最大值为，此时相应的，． ……10分