2020高中数学 课时分层作业19 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 新人教A版 6页

课时分层作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)‎ A．第一、二象限　　　　 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[x2＋x＋1＝2＋＞0，‎ x2－x＋1＝2＋＞0，‎ 所以向量a对应的坐标位于第四象限．]‎ ‎2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为(　　)‎ ‎ 【导学号：84352224】‎ A．(－8,1) B． C． D．(8，－1)‎ C　[因为＝，‎ 所以－＝(－)，‎ ＝＋ ‎＝(3，－2)＋(－5，－1)‎ ‎＝，‎ 即点P坐标为.]‎ ‎3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)‎ A．(－2，－2) B．(2,2)‎ C．(－2,2) D．(2，－2)‎ 6‎ D　[由已知得‎2a－b＝(2,4)，a＋b＝(4，－10)，‎ 所以‎3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]‎ ‎4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量‎4a,3b－‎2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352225】‎ A．(1，－1) B．(－1,1)‎ C．(－4,6) D．(4，－6)‎ D　[因为‎4a,3b－‎2a，c对应有向线段首尾相接，所以‎4a＋3b－‎2a＋c＝0，故有c＝－‎2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．]‎ ‎5．已知点A(1,2)，B(2,4)，C(－3,5)．若＝＋m，且点P在y轴上，则m＝(　　)‎ A．－2 B． C．－ D．2‎ B　[设P(x，y)，由题意＝m，‎ ‎∴∴P(－‎5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，∴－‎5m＋1＝0，m＝.]‎ 二、填空题 ‎6．如图2316，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.‎ 图2316‎ ‎(－3，－5)　[＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，‎ ＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]‎ ‎7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2317所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ 图2317‎ 6‎ ‎4　[以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]‎ ‎8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ‎1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________. ‎ ‎【导学号：84352226】‎ ‎1　[由c＝λ‎1a＋λ2b，‎ 得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)，‎ 所以解得λ1＝－1，λ2＝2，‎ 所以λ1＋λ2＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求的坐标．‎ ‎[解]　因为A(－1,2)，B(2,8)，‎ 所以＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，‎ ＝(－3，－6)，‎ 所以＝＝(1,2)，＝－＝(1,2)，‎ ＝(－1，－2)，‎ 所以＝－＝(－1，－2)－(1,2)＝(－2，－4)．‎ ‎10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，‎ 设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b.‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标. ‎ ‎【导学号：84352227】‎ ‎[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ 6‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)‎ A. B. C. D. C　[如图所示，∵∠AOC＝45°，‎ 设C(x，－x)，则＝(x，－x)．‎ 又∵A(－3,0)，B(0,2)，‎ ‎∴λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，‎ ‎∴⇒λ＝.]‎ ‎2．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352228】‎ A．{(1,1)} B．{(－1,1)}‎ C．{(1,0)} D．{(0,1)}‎ 6‎ A　[a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，‎ b＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)．‎ 由a＝b得解得 故P∩Q＝{(1,1)}．]‎ ‎3．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.‎ 或－　[因为＝(－1,1)＝＝(sin α，cos β)，‎ 所以sin α＝－，cos β＝，‎ 所以α＝－，β＝－或，‎ 所以α＋β＝或－.]‎ ‎4．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________. ‎ ‎【导学号：84352229】‎ ‎(2,4)　[设点D的坐标为(x，y)．‎ 因为DC＝2AB，所以＝2.‎ 因为＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ 所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，‎ 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ 所以解得故点D的坐标为(2,4)．]‎ ‎10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，‎ 设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b.‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标. ‎ ‎【导学号：84352227】‎ ‎[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ 6‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点，∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ 6‎