高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第5节-基础达标 8页

第二章 第五节 一、选择题 1．(文)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝(1 2)x 的图像之间的关系是( ) A．关于 y 轴对称 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称 [答案] A [解析] ∵y＝(1 2)x＝2－x， ∴它与函数 y＝2x 的图像关于 y 轴对称． (理)(2015·东营质检)函数 y＝3x 与 y＝－3－x 的图像的对称图形为( ) A．x 轴 B．y 轴 C．直线 y＝x D．原点 [答案] D [解析] 由 y＝－3－x 得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称． 2．函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( ) A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1 [答案] C [解析] 由已知，得 a2－3a＋3＝1， a>0 且 a≠1， 即 a2－3a＋2＝0 a>0 且 a≠1. ∴a＝2. 3．(文)设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝ 1 2 －1.5，则( ) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 [答案] D [解析] y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∵y＝2x 在 R 上是单调递增函数，∴y1>y3>y2. (理)设函数 f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( ) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2) [答案] A [解析] ∵f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4， ∴a－2＝4，∴a＝1 2 ，∴f(x)＝(1 2)－|x|＝2|x|， ∴f(－2)>f(－1)，故选 A． 4．若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足 f(1)＝1 9 ，则 f(x)的单调递减区间是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [答案] B [解析] ∵f(1)＝1 9 ，∴a2＝1 9 ， ∵a>0 且 a≠1，∴a＝1 3 ， ∴f(x)＝(1 3)|2x－4|， ∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝(1 3)t 为减函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减． 5．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11 [答案] B [解析] ∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a ＋2－a)2－2＝9－2＝7. 6．(文)给出下列结论： ①当 a<0 时，(a2) 3 2 ＝a3； ②n an＝|a|(n>1，n∈N＋，n 为偶数)； ③函数 f(x)＝(x－2) 1 2 －(3x－7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠7 3}； ④若 2x＝16,3y＝ 1 27 ，则 x＋y＝7. 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ [答案] B [解析] ∵a<0 时，(a2) 3 2 >0，a3<0，∴①错； ②显然正确；解 x－2≥0 3x－7≠0 ，得 x≥2 且 x≠7 3 ，∴③正确， ∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝ 1 27 ＝3－3，∴y＝－3， ∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错． (理)已知实数 a、b 满足等式 1 2 a＝ 1 3 b，下列五个关系式：①00 时， 1 2 a＝ 1 3 b，则有 00，a≠1}，如 果 P∩Q 有且只有一个元素，那么实数 m 的取值范围是________． [答案] (1，＋∞) [解析] 如果 P∩Q 有且只有一个元素，即函数 y＝m 与 y＝ax＋1(a>0，且 a≠1)图像只 有一个公共点． ∵y＝ax＋1>1，∴m>1. ∴m 的取值范围是(1，＋∞)． 9．若函数 f(x)＝ax－1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则 a＝________. [答案] 3 [解析] 当 a>1 时，f(x)为增函数， 则 f0＝0， f2＝2， 即 a0－1＝0， a2－1＝2， ∴a＝ 3. 当 00，得 2x1＋1>0,2x2＋1>0， 所以，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0，f(x)＝ex a ＋a ex 是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明 f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程 f(x)＝2. [解析] (1)∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e－x a ＋ a e－x ＝ex a ＋a ex 恒成立． 整理，得(a2－1)(e2x－1)＝0 对任意实数 x 恒成立， 故 a2－1＝0.又∵a>0，∴a＝1. (2)证明：在(0，＋∞)任意取 x1，x2，设 00，x2>0，x2－x1>0， 得 x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由 f(x)＝2，得 ex＋1 ex ＝2，即 e2x－2ex＋1＝0. ∴ex＝1＝e0.∴x＝0.故方程 f(x)＝2 的根为 x＝0. 一、选择题 1．已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<－1 或 x>1 2}，则 f(10x)>0 的解集为( ) A．{x|x<－1 或 x>－lg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x<－lg2} [答案] D [解析] 由条件知 f(x)>0 的解集为{x|－10，∴－1<10x<1 2 ，∴x<－lg2. 2．(2015·忻州联考)已知 a>0 且 a≠1，f(x)＝x2－ax，当 x∈(－1,1)时均有 f(x)<1 2 ，则实 数 a 的取值范围是( ) A．(0，1 2)∪[2，＋∞) B．[1 4 ，1)∪(1,4] C．[1 2 ，1)∪(1,2] D．(0，1 4)∪[4，＋∞) [答案] C [解析] 由 x2－ax<1 2 得 ax>x2－1 2 ，设函数 y1＝ax，y2＝x2－1 2 ，分别作出它们的图像，如 图，由图易知，当 0x2－1 2 ，则 x＝1 时，a1≥12－1 2 ＝1 2 ，反 之亦成立，同理，a>1 时，可得 1f(n)，则 m，n 的大小关 系为________． [答案] mf(n)得 mf(n)，则 m、 n 的大小关系为________． [答案] m>n [解析] ∵a2－2a－3＝0，∴a＝3 或 a＝－1(舍)． 函数 f(x)＝ax 在 R 上递增，由 f(m)>f(n)得 m>n. 4．(文)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． [答案] (1，＋∞) [解析] 令 ax－x－a＝0 即 ax＝x＋a，若 01，y＝ax 与 y＝x＋a 的图像如图所示． (理)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公共点，则 a 的取值范围 是________． [答案] 0，1 2 [解析] 数形结合． 由图可知 0<2a<1，∴0－2t2＋k. 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0. 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1 3. 解法 2：由(1)知 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ，又由题设条件得 －2t2－2t＋1 2t2－2t＋1＋2 ＋－22t2－k＋1 22t2－k＋1＋2 <0， 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0. 整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0. 上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1 3. 6．已知 f(x)＝3x，并且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的定义域为[－1,1]． (1)求函数 g(x)的解析式； (2)判断 g(x)的单调性； (3)若方程 g(x)＝m 有解，求 m 的取值范围． [解析] (1)因为 f(a＋2)＝18，f(x)＝3x， 所以 3a＋2＝18⇒3a＝2， 所以 g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]． (2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－ 2x－1 2 2＋1 4. 当 x∈[－1,1]时，2x∈ 1 2 ，2 ， 令 t＝2x，所以 y＝－t2＋t＝－ t－1 2 2＋1 4. 故当 t∈ 1 2 ，2 时，y＝－t2＋t＝－ t－1 2 2＋1 4 是减少的， 又 t＝2x 在[－1,1]上是增加的， 所以 g(x)在[－1,1]上是减少的． (3)因为方程 g(x)＝m 有解，即 m＝2x－4x 在[－1,1]内有解．由(2)知 g(x)＝2x－4x 在[－1,1] 上是减少的， 所以－2≤m≤1 4 ， 故 m 的取值范围是 －2，1 4 .