2020-2021学年福建省福州市晋安区九校联考八年级上学期期中数学试卷 （解析版） 22页

2020-2021 学年福建省福州市晋安区九校联考八年级第一学期期 中数学试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．一个三角形的两边长分别是 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm 3．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（ ） A．20° B．40° C．70° D．90° 4．如图，在△ABC 中，AD 交边 BC 于点 D．设△ABC 的重心为 M，若点 M 在线段 AD 上， 则下列结论正确的是（ ） A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD 的周长等于△ACD 的周长 D．△ABD 的面积等于△ACD 的面积 5．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 6．如图，△ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC，AB 于点 D，E，AE＝3cm，△ADC 的 周长为 9cm，则△ABC 的周长是（ ） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 7．如图，点 E，F 在 AC 上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个 条件是（ ） A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 8．在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 AD＝CE，∠DEC＝∠C＝70°，∠ADE ＝30°，则下列结论正确的是（ ） A．DE＝CE B．BC＝CE C．DB＝DE D．AE＝DB 9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A（3，2），点 P（m，0）（m＜6），若△POA 是等腰三角形，则 m 可取的值最多有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 10．如图，点 D 在线段 BC 上，若∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°，且 BC＝DE，AC＝DC， AB＝EC，则下列角中，大小为 x°的角是（ ） A．∠EFC B．∠ABC C．∠FDC D．∠DFC 二、填空题（共 6 小题）. 11．在△ABC 中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C 是 °． 12．五边形的内角和为 ． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DC＝3，则点 D 到 AB 的距离是 ． 14．如图，把长方形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，若∠BDE＝25°，那么∠BED＝ ． 15．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1， ），则 点 C 的坐标为 ． 16．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为 ． 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分：请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置） 17．（8 分）一个多边形的内角和是它的外角和的 4 倍，求这个多边形的边数． 18．（8 分）如图，AB＝AC，AE＝AF．求证：∠B＝∠C． 19．（8 分）如图，已知锐角∠MPN，点 A 在射线 PN 上． （1）尺规作图：在射线 PM 上求作点 B，使得 BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在射线 AN 上截取 AC＝PB，试判断∠BCP 和∠MPN 的数量关系，并说明理由． 20．（8 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，3），B（﹣6，0），C （﹣1，0）． （1）将△ABC 向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位得到△A1B1C1，图中画出△A1B1C1， 平移后点 A 对应点 A1 的坐标是 ． （2）将△ABC 沿 y 轴翻折得△A2B2C2，图中画出△A2B2C2，翻折后点 A 对应点 A2 坐标 是 ． （3）若将△ABC 向左平移 2 个单位，求：△ABC 扫过的面积． 21．（8 分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等． 22．（10 分）如图，在△ABC 中，以 AB 为边作等边△ABD（点 C、D 在边 AB 的同侧）， 连接 CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC 的度数． 23．（10 分）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多 边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面 密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为 360°时，就 能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种 边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法： 如果用 x 个正三角形、y 个正六边形进行平面密铺，可得 60°•x+120°•y＝360°，化简 得 x+2y＝6．因为 x、y 都是正整数，所以只有当 x＝2，y＝2 或 x＝4，y＝1 时上式才成 立，即 2 个正三角形和 2 个正六边形或 4 个正三角形和 1 个正六边形可以拼成一个无缝 隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）． （1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的 x 个正三角形和 y 个正方形进行平面密铺的 情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只 要画出一种图形即可）； （2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能， 请在方格纸中画出密铺的设计图． 24．（12 分）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 P 为 AC 上一点，点 M 为 BC 上一 点，线段 AM，BP 交于点 E． （1）如图 1，若 BP 为△ABC 的角平分线，且 AM⊥BC，求证：AE＝AP． （2）如图 2，若 BP 为△ABC 的角平分线，且 AM⊥BP，求证：AP＝PM． （3）如图 3，若 BP 为△ABC 的中线，且 AM⊥BP，求证：BP＝AM+MP． 25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 为 x 轴负半轴上一点，B 为 y 轴正半轴上 一点，若 AO＝2，AB＝2OA． （1）作 A 点关于 y 轴的对称点 E，并写出 E 点的坐标； （2）求∠BAO 的度数； （3）如图 2，P 是射线 OA 上任意一点，以 PB 为边向上作等边三角形△PBD，DA 的延 长线交 y 轴于点 Q， ① 求 AQ 的长； ② 若 OB＝2 ，求 BD 的最小值． 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，滴分 40 分：每小题只有一个正确的选项） 1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2．一个三角形的两边长分别是 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm 解：设第三边长为 xcm， 则 8﹣3＜x＜3+8， 5＜x＜11， 故选：C． 3．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（ ） A．20° B．40° C．70° D．90° 解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°． 故选：C． 4．如图，在△ABC 中，AD 交边 BC 于点 D．设△ABC 的重心为 M，若点 M 在线段 AD 上， 则下列结论正确的是（ ） A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD 的周长等于△ACD 的周长 D．△ABD 的面积等于△ACD 的面积 解：∵△ABC 的重心为 M， ∴AM＝2DM，AD 为△ABC 的中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ACD． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 解：点（3，﹣2）关于 y 轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）， 故选：D． 6．如图，△ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC，AB 于点 D，E，AE＝3cm，△ADC 的 周长为 9cm，则△ABC 的周长是（ ） A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 解：∵△ABC 中，边 AB 的中垂线分别交 BC、AB 于点 D、E，AE＝3cm， ∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm， ∵△ADC 的周长为 9cm， ∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC 的周长为：AB+AC+BC＝15cm． 故选：C． 7．如图，点 E，F 在 AC 上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个 条件是（ ） A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 解：当∠D＝∠B 时， 在△ADF 和△CBE 中 ∵ ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故选：B． 8．在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 AD＝CE，∠DEC＝∠C＝70°，∠ADE ＝30°，则下列结论正确的是（ ） A．DE＝CE B．BC＝CE C．DB＝DE D．AE＝DB 解：结论正确的是 AE＝DB，理由如下： 如图所示： ∵∠AEC＝∠A+∠ADE，∠ADE＝30°， ∴∠A＝∠DEC﹣∠ADE＝70°﹣30°＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC 是等腰三角形，AB＝AC， ∵AD＝CE， ∴AE＝DB， 故选：D． 9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A（3，2），点 P（m，0）（m＜6），若△POA 是等腰三角形，则 m 可取的值最多有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解：由勾股定理得：OA＝ ＝ ， 如图所示： OA＝OP 有 2 个、AP＝OA 有 1 个（不符合题意舍去）、AP＝OP 有 1 个， 一共 2+1＝3（个）． 则 m 可取的值最多有 3 个． 故选：B． 10．如图，点 D 在线段 BC 上，若∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°，且 BC＝DE，AC＝DC， AB＝EC，则下列角中，大小为 x°的角是（ ） A．∠EFC B．∠ABC C．∠FDC D．∠DFC 解：在△ABC 和△CED 中， ， ∴△ABC≌△CED（SSS）， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EDC ∵∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°＝180°﹣∠E﹣∠CFE， ∴∠CFE＝2x°， ∵∠EFC＝∠FDC+∠FCD＝2∠FDC， ∴∠FDC＝x°， 故选：C． 二、填空题（共 6 个小题，每题 4 分，满分 24 分） 11．在△ABC 中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C 是 40 °． 解：∵∠A＝60°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°， 故答案为：40． 12．五边形的内角和为 540° ． 解：（5﹣2）•180°＝540°． 故答案为：540°． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DC＝3，则点 D 到 AB 的距离是 3 ． 解：作 DE⊥AB 于 E， ∵AD 是∠CAB 的角平分线，∠C＝90°， ∴DE＝DC， ∵DC＝3， ∴DE＝3， 即点 D 到 AB 的距离 DE＝3． 故答案为：3． 14．如图，把长方形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，若∠BDE＝25°，那么∠BED＝ 130 ° ． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC， 根据折叠的性质得：∠EBD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB＝25°， ∴∠BED＝130°， 故答案为：130°． 15．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1， ），则 点 C 的坐标为 （﹣ ，1） ． 解：如图作 AF⊥x 轴于 F，CE⊥x 轴于 E． ∵四边形 ABCO 是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COE＝∠OAF， 在△COE 和△OAF 中， ， ∴△COE≌△OAF， ∴CE＝OF，OE＝AF， ∵A（1， ）， ∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝ ， ∴点 C 坐标（﹣ ，1）， 故答案为（﹣ ，1）． 16．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为 10 ． 解：连接 AD， ∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得 AD＝8， ∵EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， ∴AD 的长为 CM+MD 的最小值， ∴△CDM 的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10． 故答案为：10． 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分：请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置） 17．（8 分）一个多边形的内角和是它的外角和的 4 倍，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数是，则 （n﹣2）×180＝360×4， n﹣2＝8， n＝10． 答：这个多边形的边数是 10． 18．（8 分）如图，AB＝AC，AE＝AF．求证：∠B＝∠C． 【解答】证明：在△ABF 和△ACE 中 ， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠C． 19．（8 分）如图，已知锐角∠MPN，点 A 在射线 PN 上． （1）尺规作图：在射线 PM 上求作点 B，使得 BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在射线 AN 上截取 AC＝PB，试判断∠BCP 和∠MPN 的数量关系，并说明理由． 解：（1）如图，点 P 即为所求． （2）如图，点 C 即为所求． 结论：∠MPN＝2∠BCP． 理由：∵BP＝BA＝AC， ∴∠MPN＝∠BAP，∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAP＝∠ABC+∠ACB， ∴∠MPN＝2∠CBP． 20．（8 分）如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，3），B（﹣6，0），C （﹣1，0）． （1）将△ABC 向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位得到△A1B1C1，图中画出△A1B1C1， 平移后点 A 对应点 A1 的坐标是 （4，0） ． （2）将△ABC 沿 y 轴翻折得△A2B2C2，图中画出△A2B2C2，翻折后点 A 对应点 A2 坐标 是 （2，3） ． （3）若将△ABC 向左平移 2 个单位，求：△ABC 扫过的面积． 解：（1）△A1B1C1 如图所示，平移后点 A 的对应点 A1 的坐标是：（4，0）； （2）△A2B2C2 如图所示，翻折后点 A 对应点 A2 坐标是：（2，3）； （3）将△ABC 向左平移 2 个单位，则△ABC 扫过的面积为： S△A′B′C′+S 平行四边形 A′C′CA＝ ×3×5+2×3＝13.5． 故答案为：（1）（4，0）；（2）（2，3）． 21．（8 分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等． 【解答】已知：△ABC 中，AB＝AC，BF，CE 分别∠ABC，∠ACB 的角平分线． 求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的角平分线， ∴∠BCE＝∠CBF， ∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC， ∴△BCE≌△CBF， ∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等． 22．（10 分）如图，在△ABC 中，以 AB 为边作等边△ABD（点 C、D 在边 AB 的同侧）， 连接 CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC 的度数． 解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°， 在△CBA 与△CDA 中， ， ∴△CBA≌△CDA（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°． 23．（10 分）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多 边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面 密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为 360°时，就 能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种 边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法： 如果用 x 个正三角形、y 个正六边形进行平面密铺，可得 60°•x+120°•y＝360°，化简 得 x+2y＝6．因为 x、y 都是正整数，所以只有当 x＝2，y＝2 或 x＝4，y＝1 时上式才成 立，即 2 个正三角形和 2 个正六边形或 4 个正三角形和 1 个正六边形可以拼成一个无缝 隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）． （1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的 x 个正三角形和 y 个正方形进行平面密铺的 情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只 要画出一种图形即可）； （2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能， 请在方格纸中画出密铺的设计图． 解：（1）据题意，可有 60°•x+90°•y＝360°， 化简得 2x+3y＝12， ∴当 x＝3，y＝2 时，有图： （2）如图（5）所示： 24．（12 分）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 P 为 AC 上一点，点 M 为 BC 上一 点，线段 AM，BP 交于点 E． （1）如图 1，若 BP 为△ABC 的角平分线，且 AM⊥BC，求证：AE＝AP． （2）如图 2，若 BP 为△ABC 的角平分线，且 AM⊥BP，求证：AP＝PM． （3）如图 3，若 BP 为△ABC 的中线，且 AM⊥BP，求证：BP＝AM+MP． 【解答】（1）证明：∵BP 为△ABC 的角平分线， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABP+∠APB＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠BEM＝90°， ∴∠CBP+∠BEM＝90°， ∴∠APB＝∠BEM， 又∵∠BEM＝∠AEP， ∴∠AEP＝∠APB， ∴AE＝AP； （2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴ABC＝∠ACB＝45°， ∵BP 平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC＝22.5°， ∴∠APB＝67.5°， ∵BE＝BE，∠AEB＝∠BEM＝90°， ∴△BEA≌△BEM（ASA）， ∴BA＝BM，AE＝EM， ∴PB 垂直平分线段 AM， ∴PA＝PM， ∵EP⊥AM， ∴∠BPM＝∠BPA＝67.5°， ∴∠CPM＝∠C＝45°， ∴∠PMC＝90°， ∵PA⊥AB，BP 平分∠ABC， ∴PA＝PM． （3）证明：如图 3 中，作 CH⊥AC 交 AM 的延长线于 H． ∵∠APB+∠PAE＝90°，∠PAE+∠H＝90°， ∴∠APB＝∠H， ∵∠BAP＝∠ACH＝90°，AB＝AC， ∴△BAP≌△ACH（AAS）， ∴PA＝CH＝PC，PB＝AH， ∵CM＝CM，∠PCM＝∠MCH＝45°， ∴△CMP≌△CMH（SAS）， ∴PM＝MH， ∴PB＝AH＝AM+MH＝AM+PM． 25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 为 x 轴负半轴上一点，B 为 y 轴正半轴上 一点，若 AO＝2，AB＝2OA． （1）作 A 点关于 y 轴的对称点 E，并写出 E 点的坐标； （2）求∠BAO 的度数； （3）如图 2，P 是射线 OA 上任意一点，以 PB 为边向上作等边三角形△PBD，DA 的延 长线交 y 轴于点 Q， ① 求 AQ 的长； ② 若 OB＝2 ，求 BD 的最小值． 解：（1）如图 1 中， ∵A，E 关于 y 轴对称， ∴OA＝OE＝2， ∴E（2，0）． （2）如图 1 中，∵OA＝OE，BO⊥AE， ∴BA＝BE， ∵AB＝2OA＝AE， ∴AB＝BE＝AE， ∴△ABE 是等边三角形， ∴∠BAO＝60°． （3） ① 作点 A 关于 y 轴的对称点 E，连接 BE，设 AD 交 PB 于 J． ∵△PBD，△ABE 都是等边三角形， ∴BA＝BE，BP＝BD，∠PBD＝∠ABE＝60°， ∴∠ABD＝∠EBP， 在△ABD 和△EBP 中， ， ∴△ABD≌△EBP（SAS）， ∴∠EPB＝∠ADB， ∵∠AJP＝∠DJB， ∴∠PAJ＝∠DBJ＝60°， ∴∠OAQ＝∠PAJ＝60°， ∵∠AOQ＝90°， ∴∠AQO＝30°， ∴AQ＝2AO＝4． ② ∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝4， ∵AQ＝4， ∴AB＝AQ， ∵AO⊥BQ， ∴OQ＝OB＝2 ， ∵∠AQO＝30°， ∴点 D 的运动轨迹是直线 QD， 根据垂线段最短可知，当 BD⊥DQ 时，BD 的值最小，最小值＝ BQ＝2 ．