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- 2021-04-14 发布
1
4.2 不等式的基本性质
★不等式的基本性质
1．不等式的基本性质 1：如果 a>b，那么 a+c____b+c， a－c____b－c．
不等式的基本性质 2：如果 a>b，并且 c>0，那么 ac_____bc．
不等式的基本性质 3：如果 a>b，并且 c<0，那么 ac_____bc．
2．设 a”填空．
（1）a－1____b－1；
（2）a+1_____b+1；
（3）2a____2b；
（4）－2a_____－2b；
（5）－
a
2 _____－
b
2 ；
（6）
a
2 ____
b
2 ．
3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．
（1）若 a－1>b－1，则 a____b；
（2）若 a+3>b+3，则 a____b；
（3）若 2a>2b，则 a____b；
（4）若－2a>－2b，则 a___b．
4．若 a>b，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．
（1）a+m____b+m；
（2）a+n___b+n；
（3）m－a___m－b；
（4）an____bn；
（5）
a
m ____
b
m ；
2
（6）
a
n _____
b
n ；
5．下列说法不正确的是（ ）
A．若 a>b，则 ac 2 >bc 2 （c 0）
B．若 a>b，则 bb，则－a>－b
D．若 a>b，b>c，则 a>c
★不等式的简单变形
6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为 x>a 或 x>a 的形式：
（1）x－3>1；
（2）－
2
3 x>－1；
（3）3x<1+2x；
（4）2x>4．
［学科综合］
7．已知实数 a、b、c 在数轴上对应的点如图 13－2－1 所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．bc>ab
B．ac>ab
C．bca+b
8．已知关于 x 的不等式（1－a）x>2 变形为 x<
2
1-a ，则 1－a 是____数．
9．已知△ABC 中三边为 a、b、c，且 a>b，那么其周长 p 应满足的不等关系是（ ）
A．3bn，且 am0
B．a<0
C．a=0
D．a 0
（二）课本例题变式题
11．（课本 p6 例题变式题）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由 4x－1>2，得 4x>1
B．由 5x>3，得 x>
3
5
C．由
x
2 >0，得 x>2
D．由－2x<4，得 x<－2
（三）易错题
12．若 a>b，且 m 为有理数，则 am 2 ____bm 2 ．
13．同桌甲和同桌乙正在对 7a>6a 进行争论，甲说：“7a>6a 正确”，乙说：“这不可能
正确”，你认为谁的观点对？为什么？
（四）难题巧解题
14．若方程组
2x+y=k+1
x+2y=-1
的解为 x，y，且 3a 或 x 10）之间的关系式．
（3）小明现有 24 元钱，最多可买多少本？
［自主探究］
18．命题：a，b 是有理数，若 a>b，则 a 2 >b 2 ．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条
件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？
［潜能开发］
19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5 个苹果的
重量大于 4 个苹果的重量，设每个苹果的重量为 x 则有 5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接
着说：设 a 为一个实数，那么 5a 一定大于 4a，这对吗？乙说：这与 5x>4x 不是一回事吗？当
然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．
［信息处理］
20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为 x>a 或 x－3；
（2）－2x<6．
解：（1）不等式的两边都乘以 2，不等式的方向不变，所以
1 x 2>-3 22
，得 x>－6．
（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以
-2x 6>-2 -2 ，得 x>－3．
5
上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？
［开放实践］
21．比较 a+b 与 a－b 的大小．
［经典名题，提升自我］
［中考链接］
22．（2004·山东淄博）如果 m－n
C．
1 1>n m
D．
m
n >1
23．（2004·北京海淀）若 a－b<0，则下列各题中一定成立的是（ ）
A．a>b
B．ab>0
C．
a
b >0
D．－a>－b
［奥赛赏析］
24．要使不等式…< 7 5 3 2 4 6a 1
［趣味数学］
25．（1）A、B、C 三人去公园玩跷跷板，如图 13－2－3①中，试判断这三人的轻重．
（2）P、Q、R、S 四人去公园玩跷跷板，如图 13－2－3②，试判断这四人的轻重．
6
答案
1．> > > <
2．（1）<
（2）<
（3）<
（4）>
（5）>
（6）<
3．（1）>
（2）>
（3）>
（4）<
4．（1）>
（2）>
（3）<
（4）>
（5）<
（6）>
5．C 点拨： a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质 3，得－a<－b，
所以 C 选项不正确．
6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质 1）x>4；
（2）－
2
3 x>－1， －
2
3 x·（－
3
2 ）<－1·（－
3
2 ），（根据不等式的基本性质 3）x<
3
2 ；
（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质 1）x<1；
7
（4）2x>4，
2x 4>2 2 ，（根据不等式的基本性质 2）x>2．
7．A
8．负
9．D
10．B
11．B
12．错解：am 2 >bm 2
错因分析：m 2 应为大于或等于 0 的数，忽略了 m 等于 0 的情况
正解：：am 2 bm 2
13．错解 1：甲对，因为 7>6，两边同乘以一个数 a，由不等式的基本性质 2，可得 7a>6a．
错解 2：乙对，因为 a 为负数或零时，原不等式不成立．
错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为 a 为正数或负数，实际 a 为任意数，有三种
情况：a 为负数，a 为正数，a 为 0，应全面考察各种．
正解：两人的观点都不对，因为 a 的符号没有确定：①当 a>0 时，由性质 2 得 7a>6a，②
当 a<0 时，由性质 3 得 7a<6a，③当 a=0 时，得 7a=6a=0．
14．1-2 -2 ，x>3．
解法 2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，
6 2x<2 2 ，33．
16．解：从图中可看出 a>b，存在这样一个不等式，两边都加上 c，根据不等式的基本性
质 1，则 a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．
17．解：（1）若到甲商店购买，买 20 本共需 10+1 70% 10=17（元），到乙商店购买 20
本，共需 1 0．85 220=17 元，因为到甲、乙两个商店买 20 本都需花 17 元，故到两个商店
中的任一个购买都一样．
（2）甲商店中，收款 y（元）与购买本数 x（本）（x>10）之间的关系式为 y=10+0．7（x
8
－10），即 y=0．7x+3（其中 x>10）．
（3）小明现有 24 元钱，若到甲商店购买，可以得到方程 24=0．7x+3，解得 x=30（本）．若
到乙商店购买，则可买 24÷（1 0．85）≈28（本）． 30>28，故小明最多哥 买 30 本．
18．解：（1）a，b 是有理数，若 a>b>0，则 2 2a >b
（2）a，b 是有理数，若 a>b，则 a+1>b+1．
19．解：乙同学的回答不正确，5a 不一定大于 4a．当 a>0 时，5a>4a>0；当 a=0 时，5a=4a=0；
当 a<0 时，5a<4a<0．
20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为 1”相类似，但是也有所不同；不
等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变．
21．解：a+b－（a－b）=2b，当 b>0 时，a+b>a－b；当 b=0 时，a+b=a－b；当 b<0 时，a+b
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