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- 2021-04-14 发布
与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法
本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法．
定理及证明
图形
一、 抛物线的焦点弦的点的坐标的性质
若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），
且，，则：，．
两种证法比较：
证法一：斜率设法（）需要讨论，比较复杂；
证法二：斜率倒数（）设法比较简单．
证法一：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，显然．
由得: ，（这种设法下，要注意把代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代直，即把曲线代入直线）
∴，．
当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，
，∴，同上也有：．
证法二：因为焦点坐标为F(,0),当AB平行于x轴时，不合题意，所以可设直线AB的方程为： ，
联立得：，
即，
∴，．
二、抛物线焦点弦长公式
若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）．
证法一：设直线的点斜式，要讨论
（1）设，，设直线AB:
由得:,
∴，，
∴
．
易验证，结论对斜率不存在时也成立．
注意：AB为通径时，，的值最大，最小．
证法二：设直线的参数方程
因为焦点坐标为F(,0),所以可设直线AB的参数方程为： ，
代入，得，
即，
，
所以，
所以．
证法三：利用抛物线的定义，仍然用证法一的设法，没有斜率要单独说明
三、抛物线焦半径长的倒数和是定值
直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值．
证法一：先利用定义
设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=，且由结论一知：．
则：
=（常数）
证法二：利用直线参数方程
因为焦点坐标为F(,0),所以可设直线AB的参数方程为： ，
代入，得，
即，
，
所以，
所以
．
本题有几何解释，读者思考（提示：用比例线段）
四、原点处的三点共线
过任作直线交抛物线于，
过分别作准线的垂线，垂足为，
为坐标原点，则三点共线，三点共线．
证法一：(几何法)连结交轴于点，由已知，由抛物线定义于是，所以，即为的中点，即与重合.所以三点共线，
同理可证三点共线．
证法二：(代数法)设直线的方程为 ，
联立得，显然，
设，则，又，
所以所以，
所以三点共线，
同理可证三点共线．
五、点处的角平分线：
过任作直线交抛物线于，
点为定点， 则．
证法一：(几何法) 过分别作准线的垂线，
垂足为， 延长交的延长线于 ，
由及
得：，
所以，又，
所以
又
所以．
证法二：(代数法)设的方程为：，联立得，显然，设，
则，又，所以
，所以，所以的倾斜角互补，所以．
六、点 处的垂线：
过任作直线交抛物线于，
过分别作准线的垂线，垂足为，
则．
证法一：(代数法)设的方程为：，
联立得，
显然，设，
则，
∴
∴.
证法二：(几何法)
由定义，，
∴，
，∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，∴