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- 2021-04-14 发布
秘密★启用前 【考试时间：11月28日10:00—12:00】
2019年重庆一中高2021级高二上期期中考试
数学测试试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于( )
A. B. C. D.
2. 在中，角所对的边分别为，，，则等于( )
A. B. C. D.9
3. 双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.2
4. 已知直线与直线平行，则与的距离为（ ）
A. B. C. D.
5．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
6．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）
A. 8 B. 4 C.3 D.2
7.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 若圆与圆有公共点，则的范围（ ）
A. B. C. D.
9. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 过抛物线的焦点，作斜率大于的直线交抛物线于 两点
（在的上方），且与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
12．设分别是双曲线的左右顶点，设过的直线与双曲线分别交于点,直线交轴于点，过的直线交双曲线的于两点，且，则的面积（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．已知，，且，则________.
14．已知定点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程为__________．
15．如图，正方体中，E为线段的中点，
则直线AE与直线所成角的余弦值为 ．
16．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （10分）在△中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求△的面积.
18．（12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知过点的圆的圆心为，且圆与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点且斜率为的直线交圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，， ,点为棱的中点．
（1）证明:；
（2）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值．
21．（12分）设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.
22．（12分）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离为，离心率为.
求椭圆的方程；
如图，过点的动直线交椭圆于
两点，直线的斜率为，为椭圆上的一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且.过原点作以为圆心，以为半径的圆的切线，切点为.令，求取值范围.
2019年重庆一中高2021级高二上期期中考试数学参考答案
一．选择题
BCBDD BACCA DA
二．填空题
13． 14． 15. 16．
三．解答题
17.（1）因为，
由正弦定理可得：，
所以，即，
由，则，
由于，故.
（2）由余弦定理得，，所以，
故.
18．（1）证明：如图，连接，. 在三棱柱中，为的中点.
又因为为的中点， 所以.又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则， 令，得.
记与平面所成角为，则.
19. （1）设圆的标准方程为：，
则圆心到直线的距离为，
由题意得，解得或（舍去），所以，
所以圆的方程为.
（2）设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
又点到直线的距离为，
，解得，，
则直线的方程为.
20. （1）∵底面，，
∴以分别为轴正方向建立
空间直角坐标系，向量，
故，所以．
（2）向量．
由点在棱上，设．
故．
由，得，因此，解得．
即．设为平面的法向量，则
即．不妨令，可得为平面的一个法向量．
取平面的法向量，
则，易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．
21． (1)由题意得，圆的半径，解得：
故抛物线的方程为.
(2)设点，，由直线过抛物线的焦点，
联立得，
故，所以
由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离
，
由，故
当且仅当，即时，取等号，所以，
∴，
故面积的最小值为.
22．解：（1）依题意，
得，故.
所以椭圆的方程为
（2）直线：与椭圆：联立，
由题意知，，所以弦长
与椭圆：联立，解得所以
令则换元得
（再将看作一个整体），所以得到 ①
令，由①换元得：
,其中.所以