2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程1 直线的斜率与倾斜角学案 苏教版 3页

直线的斜率与倾斜角 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 直线的斜率与倾斜角 ‎1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系；‎ ‎2. 掌握过两点的直线斜率计算公式；‎ ‎3. 了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率。‎ 选择题 填空题 解答题 通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想。‎ 二、重难点提示 重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式。‎ 难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程。‎ 考点一：直线的斜率 ‎1. 已知两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝ （x1≠x2），如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在。‎ ‎2. 直线斜率的实际意义：坡度＝高度/宽度，即坡度指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。‎ 考点二：直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。‎ 倾斜角α的范围为0°≤α<180°。‎ ‎【核心归纳】直线的斜率与倾斜角的关系 当直线的斜率为正时，其倾斜角α的范围为（0°＜α＜90°）；当直线的斜率为负时，其倾斜角α的范围为（90°＜α＜180°）。‎ ‎1. 从关系式上看：若直线l的倾斜角为α（α≠90°），则直线l的斜率k＝tanα。‎ ‎2. 从几何图形上看 直线 情形 α的 大小 ‎0°‎ ‎0°<α<90°‎ ‎90°‎ ‎90°<α<180°‎ 3‎ k的大小 k＝tan 0°=0‎ k＝tan α 不存在 k＝tan α k的范围 ‎0‎ k>0‎ 不存在 k<0‎ 例题1 （求直线的斜率）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。‎ ‎（1）A（－1,0），B（0，－2）；‎ ‎（2）A（－，），B（，－）；‎ ‎（3）A（a，a＋b），B（c，b＋c）；‎ ‎（4）A（2，－1），B（m，－2）。‎ 思路分析：当x1≠x2时，利用求解直线的斜率，否则斜率不存在。‎ 答案：（1）∵－1≠0，‎ ‎∴斜率存在，且k＝＝－2；‎ ‎（2）∵－≠，‎ ‎∴斜率存在，且k＝＝＝－1；‎ ‎（3）∵a≠c（否则A，B两点重合为一点），‎ ‎∴斜率存在，且k＝＝1；‎ ‎（4）当m＝2时，斜率不存在；‎ 当m≠2时，斜率k＝＝。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题（4）因m与2的关系不确定而分m＝2和m≠2两种情况求解。‎ ‎2. 注意事项：‎ ‎（1）运用公式的前提条件是“x1≠x‎2”‎，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；‎ ‎（2）斜率公式与两点P1、P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置。‎ 例题2 （求直线的斜率或倾斜角的范围）‎ 已知两点A（－3,4），B（3,2），过点P（1,0）的直线l与线段AB有公共点。‎ ‎（1）求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎（2）求直线l的倾斜角α的取值范围。‎ 思路分析：画图斜率k的范围倾斜角α的范围。‎ 答案：如图所示，由题意可知 ‎ 3‎ k＝＝－1，‎ k＝＝1。‎ ‎（1）要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1。‎ ‎（2）由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题在求解过程中应用了数形结合思想，求解的关键是分析边界点的斜率同其他点斜率间的关系。‎ ‎2. 数形结合是解决数学问题的常用思想方法。当直线绕定点由与x轴平行（或重合）的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或重合）的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y轴平行（或重合）的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞。这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，又可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围。‎ 数形结合求函数的值域 ‎【满分训练】求函数y＝（x≥0）的值域。‎ 思路分析：先把函数式变形，再利用过两点的直线斜率公式求解。‎ 答案：y＝，可看成点A（－2，1）与函数y＝3x上动点M（x，3x）连线的斜率（如图所示）。由函数y＝3x（x≥0）的图象易知kAM≥－，‎ 又因为＜＝3，‎ 所以已知函数的值域为[－，3）。‎ 技巧点拨：‎ 本题利用数形结合思想求值域，主要是利用了过两点的直线斜率公式，注意这一方法在求值域问题中的应用。‎ 3‎