2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题25分类讨论思想、转化与化归思想教学案理（含解析） 10页

分类讨论思想、转化与化归思想 ‎【高考题型示例】‎ 题型一、概念、定理分类整合 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.‎ 例1.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为(　　)‎ A.x＋y－7＝0‎ B.2x－5y＝0‎ C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0‎ D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0‎ 答案　C 解析　设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.‎ 例2. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为(　　)‎ A.8 B.10　C.16 D.32‎ 答案　D 例3.已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是(　　)‎ A.{0，－1，2} B. C.{－1，2} D. 答案　A 10‎ 解析　因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；‎ 若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A.‎ 例4.设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则实数a的所有可能取值的集合是________.‎ 答案　 解析　f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.‎ 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.‎ 当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.‎ 当－10.‎ 若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，‎ ‎|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；‎ 若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，‎ ‎|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.‎ 综上，曲线C的离心率为或.‎ 例8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.‎ 答案　4‎ 解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，‎ 若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，‎ 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，‎ 当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.‎ ‎∴符合要求的点P有4个.‎ 题型三、含参问题分类整合 某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全. ‎ 例9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“ax>1”的充要条件为(　　)‎ 10‎ A.01，x>0　C.(a－1)x>0 D.x≠0‎ 答案　C 解析　由ax>1知，ax>a0，当01时，x>0.‎ 故“ax>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.‎ 例10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)‎ C.(－∞，0) D.(0，＋∞)‎ 答案　B ‎ 例11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(7，＋∞) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)‎ C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)‎ 答案　A 解析　由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.‎ 由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，‎ 10‎ ‎∴要使f(x0)<0，则需解得a>7.‎ 当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<－1，‎ 故函数f(x)在区间上为增函数，‎ 又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.‎ 综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).‎ 题型四、特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.‎ 例1.据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|am＜bm，m＝1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A＜B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是(　　)‎ A.若A＜B，B＜C，则A＜C B.若A＜B，B＜C同时不成立，则A＜C不成立 C.A＜B，B＜A可同时不成立 D.A＜B，B＜A可同时成立 答案　C 解析　特例法：例如蔬菜A连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，A＜B，B＜A同时不成立，故选C.‎ 例2.过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)‎ A.2a B.　C.4a D. 答案　C 解析　抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F. ‎ 过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a.‎ 例3.已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[12，＋∞)‎ 10‎ C.[－1，12] D. 答案　D 例4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.‎ 答案　 ‎ 解析　令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，‎ 代入所求式子，得＝＝.‎ 五、命题的等价转化 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.‎ 例5.由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是(　　)‎ A.(－∞，1) B.(－∞，2)‎ C.1 D.2‎ 答案　C 解析　命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，‎ 可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，‎ 可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.‎ 例6.如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为(　　)‎ 10‎ A.40 B.80‎ C.160 D.240‎ 答案　C 解析　因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，‎ 可知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.‎ 不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，‎ 则由已知，可得解得 从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.‎ 例7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.‎ 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ 解析　设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，‎ 则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.‎ f(p)在[0，4]上恒为正等价于 即解得x>3或x<－1.‎ 例8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________.‎ 答案　 解析　设k＝，则y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1，解得k＝，所以的取值范围是.‎ 10‎ 题型六、 函数、方程、不等式之间的转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.‎ 例9.已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(2，＋∞)‎ 解析　根据题意，得x＋－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立，‎ 又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a>2.‎ 例10.在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.‎ 答案　[－5，1]‎ 解析　方法一　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，‎ 所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).‎ 因为A(－12，0)，B(0，6)，‎ 所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，‎ ＝(－x，6－)或＝(－x，6＋).‎ 因为·≤20，先取P(x，)进行计算，‎ 所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.‎ 当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.‎ 当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，‎ 解得－≤x≤1，故x≤1.‎ 同理可得P(x，－)时，x≤－5.‎ 10‎ 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.‎ 故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].‎ 方法二　设P(x，y)，‎ 则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y).‎ ‎∵·≤20，‎ ‎∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，‎ 即2x－y＋5≤0.‎ 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，‎ ‎∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，‎ ‎∴点P在上.‎ 由得F点的横坐标为1，‎ 又D点的横坐标为－5，‎ ‎∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].‎ 例11.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.‎ 例12.已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0，1]，x∈ 10‎ 都成立，则实数a的取值范围为________. ‎ 答案　(－∞，－e2]‎ 解析　由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0，1]，x∈都成立，‎ 令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0，1]，x∈是关于m的一次函数，‎ 因为x∈，所以－1≤ln x≤2，‎ 所以所以所以 令g(x)＝ln x－x，所以g′(x)＝，‎ 所以函数g(x)在上是增函数，在[1，e2]上是减函数，‎ 所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2.‎ 综上知a≤－e2.‎ 10‎