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- 2021-04-14 发布
2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。）
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．复数（ ）
A. B. C. i D.
3．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 这12天中有6天空气质量为“优良”
B. 这12天中空气质量最好的是4月9日 ）
C. 从4日到9日，空气质量越来越好
D. 这12天的AQI指数值的中位数是90
4．设，则“”是“”的（ ）.
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件 第3题图
D. 既非充分也非必要条件
5．已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
则输出的值为（ ）
A. B. 6
第6题图
C. 14 D. 18
7．已知向量，，若，则实数等于（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8. 已知中，角、、的对边分别为、、，若，则 （ ）
A. B. C. D.
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
10．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为
(为参数)，直线与曲线交于两点，则的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. D. 4
11．抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是．该抛物线的焦点为F，则（ ）
A.5 B.6 C. D. 7
12．已知方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若变量满足约束条件，则的最小值为________.
14．在各项均为正数的等比数列中，若则_________
15．在中,内角所对应的边分别为，若，，则 的面积为_________.
16．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________.
三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）
17．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.
18. 在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．
19．某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是。
（1）若成绩在的学生中男生比女生多一人，从成绩在的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
20．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形， ，且，分别是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点． 求证:直线过定点，并求出该定点的坐标．
22．设函数.
（1）当时，求函数的单调区间.
（2）当时，讨论函数与图像的交点个数.
高二段考文科数学参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C【解析】，故选C.
3. 【答案】D 【解析】由图可知,AQI不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对； AQI最小的一天为9日,所以B对；从图中可以看出4日到9日AQI越来越小,C对；中位数是，D错.
4．【答案】A
5. 【答案】C 【解析】,故选C.
6.【答案】B【解析】输入不成立；
不成立；成立，输出，故选B。
7. 【答案】A
8. 【答案】A 【解析】中，∵，故三个内角分别为 ，
则 故选A．
9. 【答案】C【解析】根据三视图恢复成三棱锥，
其中，，
三棱锥体积积，故选C.
10．【答案】B【解析】设对应的参数分别为，把的参数方程代入得：，整理得：，∴
，故选B.
11. 【答案】D 【解析】将点A的坐标代入抛物线与直线，得
，所以得抛物线与直线，由得或，所以得，又抛物线的准线是，结合抛物线的定义得，故选D.
12. 【答案】D 【解析】由得
方程等价为设
易得函数是偶函数，当时，；
则由得得即得此时函数单调递增，由得得即得此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值作出函数的图像如图.要使有4个不同的实数根，需满足故选D.
13. 【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最小.即.
14.【答案】【解析】由等比数列的性质得，
∴，∴.
15. 【答案】【解析】∵，，∴由余弦定理得：
，即，因此的面积为
.
16.【答案】
17. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，可得；
所以的直角坐标方程为
（Ⅱ）设，∵曲线是直线，
所以的最小值即为点到直线的距离的最小值，
当时，取最小值为，此时，
∴ ，，此时的直角坐标为.
18. 【答案】(1) ；(2) ；
【解析】（1）设等差数列的公差是，依题意，
从而，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，
得，即，所以，
所以 ，
故．
19.【答案】（1）；（2）73.
【解析】（1）成绩在的学生共有人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，其中1，2，3为男生；
选出两人，基本事件有：，共10种，
其中都是男生的有：共3种，故概率为.
（2）平均分的估计值为.
20. 【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵F是等腰直角三角形斜边的中点，∴；
又∵侧棱平面，∴面面；
∴ 面，∴；
，∴；
∴，∴．
又∵，∴⊥平面．
而面，∴平面平面．
（2）解：∵ 面， ∴；
又∵，，∴ ，；
设点到平面的距离为，
∵，∴，解得：.
21.【答案】(I)(II)直线过定点，定点坐标为
【解析】解：(I)由题意设椭圆的标准方程为
∵，∴；
(II)设，由得，
，
.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
，∴，
∴，
∴，解得，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
22.【答案】解：（1）函数的定义域为，
当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增。
∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）令
问题等价于求函数的零点个数，
当时，，有唯一零点．
当，
当时，，函数为减函数，
注意到
所以有唯一零点；
当时，或时时
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
注意到
所以有唯一零点；
当时，函数在和上单调递减，在上单调递增，
易得，所以，
而所以有唯一零点；
综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.