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- 2021-04-14 发布
第33课时 抛物线(1)
【学习目标】
1.掌握抛物线的定义和标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；
2.掌握抛物线的简单的几何性质；
3.能用抛物线方程解决简单的应用问题.
【自主练习】
1.抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 ，焦点到准线的距离为 ，
截直线所得的弦长为 .
2.设，则抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 .
3.若抛物线的准线方程是x=2，则它的标准方程是 .
4.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则m的值为 .
5.设p点在抛物线上，且P到抛物线焦点的距离为7，则P点的坐标是 .
6.以椭圆的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A、B两点，则AB的长度为____________.
答案：1.（，0） 2 2. （0，）
3. 4.5 5. 6.
【典型例题】
例1.求下列各抛物线的标准方程：
(1) 经过点；
(2) 焦点在直线x-2y-4=0上
(3) 焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于5；
(4) x轴为对称轴，抛物线上一点R与焦点F连线的中点为.
解（1）
（2）或
（3） （4）
例2. 一个抛物线形拱桥，跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一艘载有大木箱的船水面上方高4米，宽15米，问这艘船能否安全通过？
解：建立如图坐标系：
设抛物线方程为
抛物线方程为，当时，
船可以安全通过。
例3. 设抛物线关于x轴对称，顶点在原点，P（1,2）是其上一个点.
(1) 求点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；
(2) 若B（3,2）,点F是抛物线的焦点，求PB+PF的最小值。
(3) 点A,B是其上的两点且PA,PB的斜率存在且倾斜角互补，求AB斜率
解：（1）抛物线方程为，
(2)
（3）设方程为：
联立
同理：
例4.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，点C在准线上，且BC∥x轴，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)证明：x1x2=，y1y2=-p2；(2)证明：直线AC过原点O.
证明（1）1°当斜率不存在时，直线．此时，y1y2=﹣p2
2°当斜率存在，设直线方程为：
消元得：ky2﹣2py﹣kp2=0w所以 y1y2=﹣p2综上所述y1y2=﹣p2[来源: ]
（2）1°当斜率不存在时，直线，此时，
所以直线AC的斜率为
所以直线AC的方程为直线经过原点
2°当斜率存在，设直线方程为：
设，
由
消元得：ky2﹣2py﹣kp2=0 y1y2=﹣p2；所以直线AC的斜率为
所以直线AC的方程：
所以直线经过原点． [来源:Z|xx|k.Com]
综上所述，直线经过原点