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- 2021-04-14 发布
数学试卷
一、选择题
1.已知，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
当，即时，得，故选B。
点睛：函数解析式中特别强调整体思想的应用，在本题中，将条件函数研究对象整体，得，再带入条件函数，就可以解得的值。在函数的解析式相关题型中，整体思想的应用非常广泛，学会灵活应用。
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以，应选答案C。
3.已知，则函数（ ）
A. 有最大值1，无最小值 B. 有最大值，无最小值
C. 有最大值1，最小值 D. 有最大值，最小值
【答案】B
【解析】
因为 ，，所以当 时有最大值 ， 无最小值.
4.已知函数f(x)＝则)等于( )
A. 4 B. －2
C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
，则，故选B.
5. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. y=x2，x∈[0，1] B. y=x3 C. y=2x2﹣3 D. y=x
【答案】C
【解析】
试题分析：利用偶函数的性质判断即可．
解：A、y=x2，x∈[0，1]，图象不关于y轴对称，不是偶函数；
B、f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），此函数为奇函数；
C、f（﹣x）=2×（﹣x）2﹣3=2x2﹣3=f（x），此函数为偶函数；
D、f（﹣x）=﹣f（x），此函数为奇函数，
故选：C．
考点：函数奇偶性的判断．
6.函数在区间上的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
是指数型的函数，单调递减，故在x=-2时取得最大值.
【详解】
当x=-2时取得最大值为27.
【点睛】本题考查指数函数单调性应用；求解最值其根本还是研究函数的单调性，可以借助基本初等函数单调性、复合函数单调性法则等判断函数单调性.
7.函数（且）的图象恒过定点（）
A. （0，3） B. （1，3） C. （-1，2） D. （-1，3）
【答案】D
【解析】
分析】
令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3，故可得函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过定点．
【详解】令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3
∴函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（﹣1，3）
故选：D．
【点睛】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题．
8.设，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题中条件分别判断出的范围，进而可得出结果.
【详解】因为，，，所以.
故选A
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型.
9.函数在上是増函数，则的取值范围是( )。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得，函数
二次项系数含有参数，所以采用分类讨论思想，分别求出当和时，使函数满足在上是増函数的的取值范围，最后取并集，即可求解出结果。
【详解】由题意得，
当时，函数在上是増函数；
当时，要使函数在上是増函数，应满足
或，解得或。
综上所述，，故答案选B。
【点睛】本题主要考查了利用函数在某一区间的单调性求参数的范围，对于二次项系数含参的的函数，首先要分类讨论，再利用一次函数或二次函数的性质，建立参数的不等关系进行求解。
10.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求得内函数和外函数的单调性,结合复合函数的单调性,可求出答案.
【详解】设,
函数上单调递增,在上单调递减,
函数是定义域上的减函数,
根据复合函数单调性可知,在上单调递增,在的单调递减.
故选:D.
【点睛】本题考查了复合函数的单调性,考查了学生分析解决问题的能力,属于基础题.
11.函数y＝的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【详解】∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；
值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选：C．
【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．
12.已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得,可构造函数是上的增函数,原不等式可转化为,再结合增函数的性质可求出答案.
【详解】由题意,,
因为且所以函数是上的增函数.
,
因为,所以,
则,解得.
故选:A.
【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,属于中档题.
二、填空题
13.已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.
【答案】m≥1
【解析】
∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案为m≥1
14.设f（x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b （b为常数），则f（－1）＝ ．
【答案】-3
【解析】
试题分析：f（x）为定义在R上的奇函数，所以
考点：函数奇偶性求函数解析式
15.函数的图象恒过定点,点在指数函数的图象上，则
_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的图象过定点，根据此结论求出指数函数的解析式，然后求出．
【详解】令，得，此时，
所以函数的图象恒过定点．
设指数函数为
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
故，
所以
故答案为．
【点睛】求对数型函数的图象过的定点时，可令，求得定点的横坐标，然后可得定点的纵坐标为．本题考查对对数函数性质的理解和应用，属于基础题．
16.已知函数f(x)＝|2x－2|(x∈(－1,2))，则函数y＝f(x－1)的值域为________．
【答案】[0,2)
【解析】
【分析】
根据函数左右平移不影响函数的值域，只需求出的值域即可.
【详解】法一：
由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x－2|的图象．
由图易得值域为[0,2)．
法二：因为x∈(－1,2)，所以2x∈，2x－2∈，
所以|2x－2|∈[0,2)．因为y＝f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，
所以值域不变，所以y＝f(x－1)的值域为[0,2)．故答案为[0,2).
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.
三、解答题
17.已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）先求得，再借助于数列数轴可求得；（2）由，可得关于的不等式，解得的范围．
试题解析：（1）当时，集合，
∴．
（2）∵，，，
∴，∴．
考点：集合的运算；集合间的关系．
【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．
18.计算下列各式的值：
（Ⅰ)
（Ⅱ）
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（1）根据对数运算法则 化简求值（2）根据指数运算法则，化简求值
试题解析：（Ⅰ）原式.
（Ⅱ）原式.
19.已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断函数在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数．
【解析】
【分析】
(1)先设幂函数解析式，再代入点坐标解得参数 ，即得结果.(2)先根据幂指数正负判断增减性，再利用定义证明
【详解】（Ⅰ）∵是幂函数，则设（α是常数），
∵的图象过点，
∴，
故，即；
（Ⅱ）在区间上是减函数．证明如下：
设
∴，
，
∴在区间上是减函数．
【点睛】本题考查幂函数解析式以及定义法证明单调性，考查基本求解能力与推理论证能力.
20.已知函数，.
（1）求定义域；
（2）判断并证明奇偶性.
【答案】(1)；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）由题意得，，从而可得函数的定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性定义证明．
试题解析：
（1）由题意得，
解得：﹣1＜x＜1，
∴原函数的定义域为（﹣1，1）；
（2）f（x）在（﹣1，1）上为奇函数，证明如下，
∵f（﹣x）=loga
=loga（）﹣1
=﹣loga
=f（x）；
∴f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．
21.已知函数，且，.
（1）求与的值；
（2）解不等式：.
【答案】（1）p=-2,q=;（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于p,q的方程组，求解方程组即可确定p,q的值；
(2)结合函数的解析式求解对数不等式即可.
【详解】（1）依题意，得，解得；
（2）由（1）知，，
由，得，即，
因为是减函数，所以，，
即不等式的解集是．
【点睛】本题主要考查指数不等式的解法，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；
（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．
【详解】（I）函数的图象过点
（II）由（I）知
恒成立
即恒成立
令，则命题等价于
而单调递增
即
（III） ，
令
当时，对称轴
①当，即时
，不符舍去.
②当时,即时
.
符合题意.
综上所述：
【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．